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书书书第２５卷第６期２０１０年１２月（页码：２１０２～２１０８）地 球 物 理 学 进 展ＰＲＯＧＲＥＳＳ ＩＮ ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＳＶｏｌ．２５，Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０１０魏雅利，骆 遥．基于Ｈａｒｔｌｅｙ变换的剖面位场转换．地球物理学进展，２０１０，２５（６）：２１０２～２１０８，ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００４２９０３．２０１０．０６．０２９．ＷｅｉＹＬ，ＬｕｏＹ．２ＤｐｏｔｅｎｔｉａｌｆｉｅｌｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍ．犘狉狅犵狉犲狊狊犻狀犌犲狅狆犺狔狊．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ），２０１０，２５（６）：２１０２～２１０８，ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００４２９０３．２０１０．０６．０２９基于犎犪狉狋犾犲狔变换的剖面位场转换魏雅利１， 骆 遥２（１．北京市２４３３信箱，北京１０００８１； ２．中国国土资源航空物探遥感中心，北京１０００８３）摘 要 从位场理论和Ｈａｒｔｌｅｙ变换出发，推导了Ｈａｒｔｌｅｙ变换空间中位场解析延拓及垂向狀阶导数的频率响应，通过Ｈａｒｔｌｅｙ变换给出位场水平一阶导数与垂向一阶导数的希尔伯特变换关系，建立了以Ｈａｒｔｌｅｙ变换为基础可供延拓和求导的剖面位场转换系统．较传统的频率域位场转换而言，基于Ｈａｒｔｌｅｙ变换的剖面位场转换更为简洁，其正变换和逆变换的形式完全一致，不涉及复数运算，且占用更少的计算机内存具有更高效的计算效率．理论模型计算表明，基于Ｈａｒｔｌｅｙ变换的剖面位场转换是正确可靠的，具有较高的计算精度．关键词 Ｈａｒｔｌｅｙ变换，傅里叶变换，位场转换，频率响应，希尔伯特变换ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００４２９０３．２０１０．０６．０２９ 中图分类号 Ｐ６３１ 文献标识码 Ａ ２犇狆狅狋犲狀狋犻犪犾犳犻犲犾犱狋狉犪狀狊犳狅狉犿犪狋犻狅狀犫犪狊犲犱狅狀犎犪狉狋犾犲狔狋狉犪狀狊犳狅狉犿ＷＥＩＹａｌｉ１， ＬＵＯＹａｏ２（１．犘．犗．犅狅狓２４３３，犅犲犻犼犻狀犵１０００８１，犆犺犻狀犪； ２．犆犺犻狀犪犃犲狉狅犌犲狅狆犺狔狊犻犮犪犾犛狌狉狏犲狔犪狀犱犚犲犿狅狋犲犛犲狀狊犻狀犵犆犲狀狋犲狉犳狅狉犔犪狀犱犪狀犱犚犲狊狅狌狉犮犲狊，犅犲犻犼犻狀犵１０００８３，犆犺犻狀犪）犃犫狊狋狉犪犮狋 ＢａｓｅｄｏｎｐｏｔｅｎｔｉａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｗｅｈａｖｅｄｅｒｉｖｅｄｒｅｓｐｏｎｓｅｓｏｆｕｐｗａｒｄ／ｄｏｗｎｗａｒｄｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎａｎｄｖｅｒｔｉｃａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｏｒｔｈｅ２ＤｐｏｔｅｎｔｉａｌｆｉｅｌｄｉｎｔｈｅＨａｒｔｌｅｙｄｏｍａｉｎ．ＡｎｄｗｅｈａｖｅｇｉｖｅｎｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆＨｉｌｂｅｒｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｂｅｔｗｅｅｎｖｅｒｔｉｃａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅａｎｄｈｏｒｉｚｏｎｔａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅｐｏｔｅｎｔｉａｌｆｉｅｌｄｆｏｒａ２ＤｐｒｏｆｉｌｅｃａｓｅｂｙＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍ．ＡｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｆｉｅｌｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍｈａｓｂｅｅｎｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｇｒａｄｉｅｎｔｏｒｕｐｗａｒｄｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｏｆｇｒａｖｉｔｙａｎｄｍａｇｎｅｔｉｃａｎｏｍａｌｉｅｓａｌｏｎｇａｐｒｏｆｉｌｅ．ＴｈｅＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｖｏｌｖｅｓｏｎｌｙｒｅａｌ，ｔｈａｔｎｅｅｄｓｏｎｌｙｈａｌｆｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｒｍｅｍｏｒｙａｎｄｌｅｓｓｔｈａｎｈａｌｆｏｆｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｔｉｍｅｉｎｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｗｉｔｈｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ．ＡｎｄｄｉｒｅｃｔａｎｄｉｎｖｅｒｓｅＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍｓｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅｋｅｒｎｅｌｏｆｃｏｓｉｎｅａｎｄｓｉｎｅ（ｃａｓ）ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｕｓ，ｔｈｅｐｒｏｆｉｌｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓｍｏｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｔｔｈａｎｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｄｏｍａｉｎｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｇｒａｖｉｔｙａｎｄｍａｇｎｅｔｉｃｍｏｄｅｌｓｓｈｏｗｓｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅ２ＤｐｏｔｅｎｔｉａｌｆｉｅｌｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓｃｏｒｒｅｃｔａｎｄｈａｓａｈｉｇｈｑｕａｌｉｔｙｐｒｅｃｉｓｉｏｎ．犓犲狔狑狅狉犱狊 Ｈａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍ，Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｐｏｔｅｎｔｉａｌｆｉｅｌｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｒｅｓｐｏｎｓｅ，Ｈｉｌｂｅｒｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ收稿日期 ２０１００５１５； 修回日期 ２０１００８２０．基金项目 国家高技术研究发展计划（８６３计划）（２００６ＡＡ０６Ａ２０８）资助．作者简介 魏雅利，男，１９８２年生，河北唐山人，２００５年毕业于北京大学地球物理学系，主要从事固体地球物理研究工作．通讯作者 骆遥，男，１９８２年生，辽宁沈阳人，２００８年毕业于中国科学院地质与地球物理研究所，主要从事航空地球物理勘查工作．（Ｅｍａｉｌ：ｇｅｏｐｈｙ＠ｖｉｐ．ｑｑ．ｃｏｍ）０ 引 言位场转换一直是重磁资料处理中最为重要的内容之一．目前，位场转换处理基本上是通过快速傅里叶变换在频率域中实现的．我国自１９７８年以地球物理学家侯重初等［１］为代表的科研集体建立了基于傅里叶变换的位场转换系统以来，频率域位场转换基本没有实质性的改变，以傅里叶变换为基础的位场 ６期魏雅利，等：基于Ｈａｒｔｌｅｙ变换的剖面位场转换转换成为经典．但傅里叶变换后的频率空间是复数空间，一定程度上稍显复杂，此外某些特定的转换处理也是不稳定的．最近，张凤旭等［２，３］将余弦变换引入重磁场的谱分析中，对位场数据进行转换处理，其研究声称用余弦变换进行位场转换的精度高于傅里叶变换．此外，张凤旭等［４］还利用希尔伯特变换计算重力归一化总梯度，其研究表明希尔伯特变换计算重力归一化总梯度对异常识别的分辨率可能优于傅里叶级数和傅里叶变换．因此，对位场转换引入新的数学变换方法是具有实际意义的，可能会提高位场转换的计算速度，甚至转换精度．Ｈａｒｔｌｅｙ变换是电气工程师Ｈａｒｔｌｅｙ［５］在１９４２年提出的一种类似傅里叶变换的积分变换．著名傅里叶分析专家Ｂｒａｃｅｗｅｌｌ［６］于１９８３年首次给出了离散Ｈａｒｔｌｅｙ变换（ＤＨＴ）．随后，不少学者提出了Ｈａｒｔｌｅｙ变换的快速算法［７～９］，即快速Ｈａｒｔｌｅｙ变换（ＦＨＴ）．理论上ＤＨＴ所需的内存和计算时间要比傅里叶变换节省近一半，已有大量关于Ｈａｒｔｌｅｙ变换研究及应用的文章发表在ＩＥＥＥ（ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｓ）所属杂志上．Ｈａｒｔｌｅｙ变换完全可以替代傅里叶变换，其广泛的应用及显示出的重要作用也为地球物理学家所重视．Ｓａａｔｃｉｌａｒ等［１０］介绍了Ｈａｒｔｌｅｙ变换在地球物理中的应用，Ｓａａｔｃｉｌａｒ等［１１］还应用Ｈａｒｔｌｅｙ变换求解弹性波方程进行波场模拟，Ｋｕｈｌ等［１２］应用Ｈａｒｔｌｅｙ变换进行地震成像．我国学者从上世纪９０年代起开始研究Ｈａｒｔｌｅｙ变换，并将其用于地震波场模拟以及偏移成像等方面工作［１３～１８］，但是对其在位场方面的研究仍属空白．目前，仅有国外学者将Ｈａｒｔｌｅｙ变换用于位场数据处理、解释或谱分析中［１９～２３］．由于Ｈａｒｔｌｅｙ变换具有某些傅里叶变换所无法比拟的优势［６］，本文将其引入位场理论，推导了延拓和导数计算的频率域响应因子，应用Ｈａｒｔｌｅｙ变换更简洁地导出了水平一阶导数与垂向一阶导数的希尔伯特变换关系，实现了一种更为简单、高效的剖面位场转换系统，试图为传统的位场转换提供新的思路、方法和手段．１ Ｈａｒｔｌｅｙ变换实函数犳（狋）的Ｈａｒｔｌｅｙ变换及其Ｈａｒｔｌｅｙ逆变换可以被定义为［５，６］：犎（ω）＝１２槡π∫＋∞－∞犳（狋）ｃａｓ（ω狋）ｄ狋，（１）犳（狋）＝１２槡π∫＋∞－∞犎（ω）ｃａｓ（ω狋）ｄω，（２）其中ｃａｓ（θ）＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ．Ｂｒａｃｅｗｅｌｌ［６］给出了上述变换的离散形式，即离散Ｈａｒｔｌｅｙ变换．对这种离散变换采用１／槡犖的比例因子，其Ｈａｒｔｌｅｙ变换形式可以表示为［６］：犎（狏）＝１槡犖∑犖－１狋＝０犳（狋）ｃａｓ２π狏狋（）犖，（３）犳（狋）＝１槡犖∑犖－１狏＝０犎（狏）ｃａｓ２π狏狋（）犖．（４）可以看出，Ｈａｒｔｌｅｙ变换及其逆变换具有完全相同的形式，构成严格对称的变换，一个序列经两次Ｈａｒｔｌｅｙ变换能被完整恢复，并且变换是在实数空间进行的，这也是Ｈａｒｔｌｅｙ变换的显著优势．Ｈａｒｔｌｅｙ变换与傅里叶变换存在着密切的关系．可以将犳（狋）经Ｈａｒｔｌｅｙ变换后的结果分解成偶数部分犈（狏）和奇数部分犗（狏）［６］：犎（狏）＝犈（狏）＋犗（狏），（５）其中犈（狏）＝［犎（狏）＋犎（－狏）］／２犗（狏）＝［犎（狏）－犎（－狏）］／烅烄烆２（６）那么犳（狋）的傅里叶变换结果犉（狏）可以表示为［６］：犉（狏）＝犈（狏）－犗（狏）ｉ，（７）其中ｉ２＝－１．同样，犳（狋）的Ｈａｒｔｌｅｙ变换也可以用其傅里叶变换后的实部和虚部表述，有：犎（狏）＝Ｒｅ犉（狏｛｝）－ｌｍ犉（狏｛｝）．（８）上述关系意味着ＤＦＴ中犖个复数（２犖个实数）可以被ＤＨＴ的犖个实数所表示，ＤＦＴ的Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ特性意味着ＤＦＴ二倍的冗余，由于对称性，犖个实数所确定的正弦或余弦变换结果足以确定ＤＦＴ的犖个复系数且不会损失任何信息［６］．Ｈａｒｔｌｅｙ变换与傅里叶变换的关系表明基于傅里叶变换的位场理论是完全可以用Ｈａｒｔｌｅｙ变换实现的．为了进一步阐述上述关系，我们应用一小段位场数据进行说明．表１给出了一个经重采样的磁异常Δ犜犻经离散Ｈａｒｔｌｅｙ变换和离散傅里叶变换后的结果（所有小数均保留两位）．变换中ＤＦＴ采用了与ＤＨＴ相同的比例因子，即１／槡犖．表１清晰表明对于确定的指标犻其Ｈａｒｔｌｅｙ变换值恰是傅里叶变换的实部、虚部之差，即式（８）的对应关系．由于离散变换中序列的指标非负，无数学分析中对应的负频率，我们将表１中变换后的两种序列与数学分析中的频率一一对应，用频谱图象３０１２地 球 物 理 学 进 展２５卷 表１ 某磁异常及其犎犪狉狋犾犲狔变换和傅里叶变换犜犪犫犾犲１ 犕犪犵狀犲狋犻犮犪狀狅犿犪犾犻犲狊狑犻狋犺犻狋狊犎犪狉狋犾犲狔狋狉犪狀狊犳狅狉犿犪狀犱犉狅狌狉犻犲狉狋狉犪狀狊犳狅狉犿ｉ０１２３４５６７８９１０Δ犜犻－０．８５－１．３３－１．６１１．５４１６．３６２１．５７８．６２１．８８－０．５４－２．１２－３．６４ＤＨＴ１２．０２－８．８３０．５８５．２１－１．９７１．５１０．５５１．２５－５．５６１２．３０－１９．９０ＤＦＴ１２．０２－１４．３６－５．５４ｉ６．４４＋５．８６ｉ－０．１７－５．３９ｉ－０．３６＋１．６１ｉ１．０３－０．４８ｉ１．０３＋０．４８ｉ－０．３６－１．６１ｉ－０．１７＋５．３９ｉ６．４４－５．８６ｉ－１４．３６＋５．５４ｉ图１ Ｈａｒｔｌｅｙ变换和傅里叶变换的关系（ａ）磁异常及其Ｈａｒｔｌｅｙ变换（ｂ）Ｈａｒｔｌｅｙ变换后分解的偶数部分与傅里叶变换的实部（ｃ）Ｈａｒｔｌｅｙ变换后分解的奇数部分与傅里叶变换的虚部Ｆｉｇ．１ ＲｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ａ）ＭａｇｎｅｔｉｃａｎｏｍａｌｙａｎｄｉｔｓＨａｒｔｌｅｙｔｒａｎｓｆｏｒｍ．（ｂ）ＥｖｅｎｐａｒｔｏｆＨａｒｔｌｅｙｄｏｍａｉｎａｎｄｒｅａｌｐａｒｔｏｆＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ．（ｃ）ＯｄｄｐａｒｔｏｆＨａｒｔｌｅｙｄｏｍａｉｎａｎｄｉｍ