搜索
第1页共22页导数练习（二）一、知识点导数的概念1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f’(x0)，或；导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为一些基本初等函数的导数表（1）；（2）；与此有关的如下：第2页共22页；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；导数的运算法则：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）若则。二、经典范例及练习（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．）类型一：已知切点，求曲线的切线方程例1曲线在点处的切线方程为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线的平行的抛物线的切线方程是（）第3页共22页Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线上的点的切线方程．故所求切线方程为，或，即，或．评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点且与曲线相切的直线方程．解：设为切点，则切线的斜率为．切线方程为，即．又已知切线过点，把它代入上述方程，得．解得，即．评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．解：曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，第4页共22页则点的坐标满足．因，故切线的方程为．点在切线上，则有．化简得，解得．所以，切点为，切线方程为．评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。（二）判断分段函数的在段点处的导数例已知函数，判断在处是否可导？分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．解：∴在处不可导．说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即，当；包括；，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．第5页共22页三、课外练习1、(1)设函数在处可导，且，求；(2)已知，求.2．求下列函数的导数(1)(2)(3)(5)3．已知曲线.（1）求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程。第6页共22页4、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．C．D．5、已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线．若和有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的方程．5、已知函数为偶函数，它的图象过点，且在处的切线方程为，求函数的解析式．7、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）8、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)9、已知向量若函数在区间上是增函数，求的取值范围．第7页共22页10、已知函数，（1）如，求的单调区间；（2）若在单调增加，在单调减少，证明.11、已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值．12、.已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.第8页共22页13、设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。小结1．当时，是增函数；当时，是减函数．用导数法研究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的．2．利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间．同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点．3．或仅是在某区间上为增函数或减函数的充分条件．在某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是（）在该区间上恒成立．4．本专题易错点主要有：①函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；②求函数的单调区间实际上是不等式（）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式（或）恒成立问题．第9页共22页导数练习（二）一、知识点导数的概念1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f’(x0)，或；导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为一些基本初等函数的导数表（1）；（2）；与此有关的如下：第10页共22页；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；导数的运算法则：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）若则。二、经典范例及练习（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．）类型一：已知切点，求曲线的切线方程例1曲线在点处的切线方程为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为第11页共22页，即，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线的平行的抛物线的切线方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：设为切点，则切点的斜率为．．由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线上的点的切线方程．解：设想为切点，则切线的斜率为．切线方程为．．又知切线过点，把它代入上述方程，得．解得，或．故所求切线方程为，或，即，或．评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以第12页共22页为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点且与曲线相切的直线方程．解：设为切点，则切线的斜率为．切线方程为，即．又已知切线过点，把它代入上述方程，得．解得，即．评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．解：曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，则点的坐标满足．因，故切线的方程为．点在切线上，则有．化简得，解得．所以，切点为，切线方程为．评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一第13页共22页或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。（二）判断分段函数的在段点处的导数例已知函数，判断在处是否可导？分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．解：∴在处不可导．说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即，当；包括；，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．练习1、(1)设函数在处可导，且，求；(2)已知，求.解：(1)由已知条件和导数的定义，可得：，当时，第14页共22页.(2)解法一：解法二：令，则从而由导数乘法的计算公式得所以2．求下列函数的导数(1)(2)(3)(5)(1)，(2)(3).(4)(5)∵，∴第15页共22页归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力．（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导．（3）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数．3．已知曲线.（1）求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程。解：(1)所求切线的斜率为，故所求的曲线的切线方程为即(2)设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，切线方程为，因为点在切线上，所以，解得或，故所求的切线的方程为：或注意区分在点处的切线方程与过点的切线方程4、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．C．D．分析：根据导数的几何意义可以得到切线方程，从而求出切线与坐标轴的交点，利用所围三角形为直角三角形，求出三角形面积．解：∵曲线在切点的切线的斜率为，第16页共22页∴切线方程为.当时，切线与轴交于点；当时，切线与轴交于点．所以切线与坐标轴所围三角形面积为．4、已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线．若和有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的方程．分析：由于未知切点，因此应先设出切点，并分别求出曲线和的切线方程，利用两条切线重合时的切线是公切线，求出切点的横坐标，从而解决问题．解：设抛物线上的切点为，则在点处切线的斜率为，所以抛物线在点处的切线方程是：.即…………………①同理，设曲线上的切点为，则曲线在点处的切线方程是………………②如果直线是过和的公切线，则①式和②式都是的方程，则消去得方程.若判别式时，即时，得，此时点和重合．即当时，和有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为5、已知函数为偶函数，它的图象过点，且在处的切线方程为，求函数的解析式．解：∵函数图象过点，∴.∵函数是偶函数，∴.∴，即.∴，∴.当，，对于直线可得，即切点为.第17页共22页∴点也在函数图象上，即.由，解得.∴.6、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）分析：由的图象可观察出在不同区间的符号，从而判断出在不同区间的单调性，因此可以根据的图象大致得到的图象．解：如图A、B、C三个图中两条曲线可分别作为和的图象，符合题意．对于D，若上一条曲线为的图象，则为增函数，不符合；若下一条曲线为的图象，则为增函数，也不符合．故选D．7、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)[解析]：∵当x＜0时,＞0，即∴