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【考纲下载】1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．掌握函数y＝C(C为常数)和y＝xn(n∈N*)的导数公式，会求多项式函数的导数.第十三章导数第1讲导数及其运算如果Δx→0时，Δy与Δx的比(也叫函数的平均变化率)有极限(即无限趋近于某个常数)，我们就把这个极限值叫做，记作y′|x＝x0，即f′(x0)＝.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数1．导数的定义(1)切线的斜率设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么等于函数所表示的曲线在相应点M(x0，f(x0))处的切线斜率．提示：若函数在x＝x0处有导数，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线；但若函数在x＝x0处没有导数，则图象在(x0，f(x0))处也可能有切线．(2)瞬时速度设s＝s(t)是位移函数，则表示物体在t＝t0时刻的瞬时速度．2．导数的意义f′(x0)s′(t0)(3)加速度设v＝v(t)是速度函数，则表示物体在t＝t0时刻的加速度．(4)边际成本设C是成本，q是产量，若C＝C(q)，则表示产量q＝q0时的边际成本．v′(t0)C′(q0)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x)．称这个函数f′(x)为函数y＝f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′，即f′(x)＝y′＝.3．导函数(1)几种常见函数的导数(2)求导法则如果f(x)，g(x)有导数，那么①[f(x)±g(x)]′＝；②[Cf(x)]′＝．常见函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝f(x)＝xf′(x)＝f(x)＝x2f′(x)＝f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝nxn－12x10f′(x)±g′(x)Cf′(x)4．导数的求导公式及运算法则1．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3s时的瞬时速度为()A．6m/sB．18m/sC．54m/sD．81m/s解析：∵s′＝6t2，∴s′|t＝3＝54.答案：C边际成本为()A．162B．51C．27D．7解析：∵C(q)＝3q＋4q2，∴C′(q)＝3＋8q在q＝6时的值是51，故边际成本为51.答案：B2．已知成本C与产量q的函数关系式为C(q)＝3q＋4q2，则当产量q＝6时，A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0解析：∵y′＝2x，∴2x＝2，∴x＝1，y＝1，∴切线方程为：y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：D3．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()解析：∵y′＝4x，∴y′|x＝－1＝－4，∴所求切线方程为：y－3＝－4(x＋1)，即：4x＋y＋1＝0.答案：4x＋y＋1＝04．曲线y＝2x2＋1在P(－1,3)处的切线方程是________．由导数的定义可知，求函数y＝f(x)的导数的一般方法是：(1)求函数的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均变化率(3)取极限，得导数y′＝【例1】用导数的定义，求函数y＝在x＝x0处的导数．思维点拨：按上面的求导方法．求多项式函数的导数时，一般只需直接利用公式(xn)′＝nxn－1(n∈N*)以及导数的运算法则即可，需要注意的是：在求导数之前必须先通过多项式的运算，把函数转化为y＝anxn＋an－1·xn－1＋…＋a1x＋a0的形式，否则就可能出现因公式使用不当而导致的错误．【例2】(2009·河南实验中学)(1)函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4(2)求函数y＝(2x2－3x)(3x＋2)的导数．思维点拨：展开后再求导．解析：(1)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，∴y′＝3x2＋2x－1，故y′|x＝1＝4，选D.答案：D(2)解：∵y＝(2x2－3x)(3x＋2)＝6x3－5x2－6x，∴y′＝18x2－10x－6.A．x2－x＋1B．(x＋1)(2x－1)C．3x2D．3x2＋1解析：∵f(x)＝x3＋1，∴f′(x)＝3x2.答案：C(2)函数y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)在x＝－1处的导数等于________．解析：∵y＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11，∴y′|x＝－1＝3－12＋11＝2.答案：2变式2：(1)函数f(x)＝(x＋1)(x2－x＋1)的导数是()曲线切线方程的求法(1)以点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求法①求出f(x)的导函数f′(x)；②将x0代入f′(x)得到切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程：y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，并化简．(2)如果已知点(x0，y0)不是切点或不在曲线y＝f(x)上，需设出切点(x1，f(x1))，根据y0－f(x1)＝f′(x1)(x0－x1)，求出x1的值，进而求解．【例3】已知曲线y＝(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．解：(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝与过点P(2,4)的切线相切于点A则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x∴切线方程为y－即y＝x∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.解：设切点为P(x0，y0)，对y＝x3－a求导数得y′＝3x2，∴3x＝3，∴x0＝±1.当x0＝1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)．又P(1,4)也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；当x0＝－1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1，－2)．又P(－1，－2)也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.综上可知，实数a的值为－3或1.变式3：若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线，求实数a的值．【方法规律】1．弄清“函数在一点x0处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系．(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．2．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.【高考真题】(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．【规范解答】解：由曲线C：y＝x3－10x＋3，得y′＝3x2－10.又根据导数的几何意义，得3x2－10＝2，所以x＝±2.又点P在第二象限内，所以x＝－2，即点P的横坐标为－2.将x＝－2代入曲线方程，得y＝15，所以点P的坐标为(－2,15)．故填(－2,15)．答案：(－2,15)【命题探究】本题主要考查导数的几何意义．考题的命制，直接给出曲线方程及切线斜率，意在直接利用导数的几何意义解决问题，考题设计重基础，淡技巧，同时也考查了考生的运算能力．【高考热点】利用导数的几何意义等求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题．这类问题一般难度不大，只要抓住基础，灵活应用，准确计算，都能轻松解决问题．【技巧点拨】利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，这类问题的关键就是抓住切点，就可以通过切点解决其相关的问题.点击此处进入作业手册