导数问题中的分类讨论

导数问题中分类讨论的方法摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值范围为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题（1）求导)('xf（2）令)('xf=0（3）求出)('xf=0的根（4）作出导数的图像或等价于导数的图像（一般是二次函数或一次函数的图像）（5）由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程)('xf=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论）下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述例1：若函数xxaxxfln2)(（a≥0），求函数的单调区间。解：)0(212)(222xxxaxxxaxf令)('xf=0，即：022xax（注意这里方程的类型需要讨论）,20xa，则若作出2)(xxg的图像，由图像可知)(xf在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数若,0810aa，则由022xax，得aax281110,aax281120作出2)(2xaxxh的图像，由图像可知)(xf在上为增函数上为减函数，在（),),0(22xx综上所述：时0a，)(xf在（0,2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数在时，)(0xfa）上为减函数，（aa28110在）上为增函数，（aa2811例2：(08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间解：123)(2axxxf令0123)(2axxxf（注意这里根的存在需要讨论）1242a若01242a，即33a，则上为增函数在Rxf)(若33,01242aaa或即由0123)(2axxxf得，3321aax,3322aax在)(xf或)33,(2aa），（332aa上为增函数在)33-3322aaaa，（上为减函数综上所述：33a时，上为增函数在Rxf)(时，或33aa在)(xf或)33,(2aa），（332aa上为增函数，在)33-3322aaaa，（上为减函数例3.（2010北京）已知函数f(x)=In(1+x)-x+22xk(k≥0)。求f(x)的单调区间。解：)1(1)1(111)(xxkkxxkxxxf令)('xf=0，即：0)1(kkxx（这里需要对方程01kkx的类型讨论）若k=0，则xxxf1)()(xf在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数若k≠0,由0)1(kkxx得，1110kxx或（这里需要对两个根的大小进行讨论）若k=1，则xxxf1)(2＞０，)(xf在（-1,＋∞）上为增函数若10k，则)(xf在)0,1(或),11(k上为增函数在)11,0(k上为减函数若1k，则)(xf在)11,1(k或),0(上为增函数在)0,11(k上为减函数综上所述：若k=0，)(xf在（-1,0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数若10k，)(xf在)0,1(或),11(k上为增函数在)11,0(k上为减函数若k=1，)(xf在（-1,＋∞）上为增函数若1k，)(xf在)11,1(k或),0(上为增函数在)0,11(k上为减函数例4.（2009北京理改编）设函数kxxexf)(，求函数()fx的单调区间解：)1()(kxekxeexfkxkxkx令0)(xf，即01kx（这里需要对方程01kx的类型讨论）若ｋ＝０，则01)(xf，)(xf在Ｒ上为增函数若k≠0则由01kx得，kx1(这里需要对1kxy的斜率讨论)若k0则)(xf在)1,(k上为减函数，在),1(k上为增函数若k0，则)(xf在)1,(k上为增函数，在),1(k上为减函数综上所述：若k=0，)(xf在Ｒ上为增函数若k0则)(xf在)1,(k上为减函数，在),1(k上为增函数若k0，则)(xf在)1,(k上为增函数，在),1(k上为减函数例5：（海南2011四校联考）32)2()(,32ln2)(xpxpxgxxxf若对任意的的取值恒成立，求实数pxgxfx)()(],2,1[范围解：），的定义域为（0)(xfxppxxxgxfxh2ln2)()()(设22'22)(xpxpxxh设令022,0)(2'pxpxxh即设（对方程类型的讨论）若p=0,则022)(2'xxxh设不符合要求上为增函数在则,2)1()(,]2,1[)(minhxhxh若p≠0,由0222pxpx得ppxx21或（对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论）若则即,1,12ppp0)1()(minhxh,符合题意若则即,01,12ppp022)1()(minphxh，不符合题意若则即,12,021ppp022)1()(minphxh，符合题意若则即,2,02ppp02)1()(minhxh，符合题意若则即,2,120ppp022)1()(minphxh，符合题意若则即,2,221ppp022)1(ph，不符合题意若则即,2,22ppp02)1(h，不符合题意若则即,20,22ppp022)1(ph，不符合题意综上所述：p的取值范围为]1,(下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指教。例6：（海南2010理）设函数2()1xfxexax。若当0x时()0fx，求a的取值范围12)(axexfx令012)(axexfx（此方程是个超越方程，故根的讨论转换成两个函数的交点的问题）即12axex令，易求得在A的切线的斜率为1显然若有12a，即21a则有12axex恒成立即恒成立012)(axexfxxey1122axyxey1所以0x，时0)0()(fxf，即0)(xf若有12a，21a则显然存在区间（0，x0）使得),0(0xx时，有12axex，即012)(axexfx即0)0()(),0(0fxfxx，使得存在综上所述：21a总结：总之规范解题步骤，弄清分类讨论的原因，相信导数问题中涉及到参数的分类讨论不会是个困难的问题.湖北省黄石市第四中学王双喜邮编435000电话：[phone]