高三一轮复习三角函数-正弦定理、余弦定理与解三角形(2)

高三一轮复习三角函数——正弦定理、余弦定理与解三角形（2）正弦定理、余弦定理解三角形一、专题精讲正弦定理求解三角形例1、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是cba,,，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（）（A）257（B）257（C）257（D）2524【答案】A【分析】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式.考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】因为BC2,所以BBBCcossin2)2sin(sin,根据正弦定理有BbCcsinsin，所以58sinsinBCbc，所以545821sin2sincosBCB。又1cos2)2cos(cos2BBC，所以2571251621cos2cos2BC，选A.变式1、设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且53cosA，135cosB,3b则c【答案】514【解析】因为53cosA,135cosB,所以54sinA，1312sinB，655653131213554)sin(sinBAC,根据正弦定理CcBbsinsin得655613123c,解得514c.变式2、已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sin0aCaCbc，求A【解析】由正弦定理得：cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA余弦定理求解三角形例1、在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=41，则b=_______。【答案】4【分析】题设一直三边和一角，因此用余弦定理直接求解【解析】在△ABC中，利用余弦定理cbcbcacbcaB4))((4412cos222cbc4)(74，化简得：0478bc，与题目条件7cb联立，可解得243abc.例2、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若()()abcabcab，则角C．【答案】32【分析】考察余弦定理的运用.【解析】222222a=-a-ab12cos=,2223abcbabcCCabab由（+b-c）(a+b-c)=ab,得到根据余弦定理故变式1、已知△ABC得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.【答案】42．【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中．【解析】设最小边长为a，则另两边为aa2,2.所以最大角余弦422242cos222aaaaa变式2、在ABC中，角,,ABC所对边长分别为,,abc，若2222abc，则cosC的最小值为（）A.32B.22C.12D.12【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos222222222abababbaabbabaabcbaC，故选Ｃ．变式3、设ABC的内角,,ABC所对的边为,,abc；则下列命题正确的是_____①若2abc；则3C②若2abc；则3C③若333abc；则2C④若()2abcab；则2C⑤若22222()2abcab；则3C【答案】①②③【分析】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。【解析】①222221cos2223abcabababcCCabab②2222224()()12cos2823abcabababcCCabab③当2C时，22232233cabcacbcab与333abc矛盾④取2,1abc满足()2abcab得：2C⑤取2,1abc满足22222()2abcab得：3C题型三：正弦定理、余弦定理求解三角形例1、在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【分析】角的关系转化成边的问题，再根据余弦定理求解cosC【解析】根据正弦定理可知由CBA222sinsinsin,可知222cba，在三角形中02cos222abcbaC，所以C为钝角，三角形为钝角三角形，选C.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.变式、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】∵sinsinsinabcABC，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，即sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝1，∴π2A，故选A．例2、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝23，sinB＝5cosC．(Ⅰ)求tanC的值；(Ⅱ)若a＝2，求ABC的面积．【分析】A的余弦值已知，B和C有个等式关系，通过角B转化为A和C之间的关系，化简后求解C的正切值，根据角A和C的三角函数值，a的值，运用正弦定理求解c，再根据余弦定理求解b，再求解面积S【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。(Ⅰ)∵cosA＝23＞0，∴sinA＝251cos3A，又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝53cosC＋23sinC．整理得：tanC＝5．(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝56．又由正弦定理知：sinsinacAC，故3c．(1)对角A运用余弦定理：cosA＝222223bcabc．(2)解(1)(2)得：3borb＝33(舍去)．∴ABC的面积为：S＝52．变式1、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知,sin()sin()444AbCcBa（1）求证：2BC（2）若2a，求△ABC的面积。【解析】（1）证明：由sin()sin()44bCcBa及正弦定理得：sinsin()sinsin()sin44BCCBA，即22222sin(sinsin)sin(sinsin)22222BCCCBB整理得：sincoscossin1BCBC，所以sin()1BC，又30,4BC所以2BC（2）由（1）及34BC可得5,88BC，又,24Aa所以sin5sin2sin,2sinsin8sin8aBaCbcAA，所以三角形ABC的面积1521sin2sinsin2sincossin28888242bcA【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.变式2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．【解析】(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即有sinAsinB－3sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0，又cosB≠0，所以tanB＝3，又0＜B＜π，所以π3B.(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.因为a＋c＝1，cosB＝12，有2211324ba.又0＜a＜1，于是有14≤b2＜1，即有12≤b＜1.二、专题过关1、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求C．【解析】由2acb及正弦定理可得sinsin2sin.ACB…………3分又由于90,180(),ACBAC故cossin2sin()CCAC2sin(902)C2cos2.C…………7分22cossincos2,22CCCcos(45)cos2.CC因为090C，所以245,CC15C2、设ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知11.2.cos.4abC（Ⅰ）求ABC的周长（Ⅱ）求cosAC的值【分析】本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。【解析】（Ⅰ）22212cos14444cababC2.cABC的周长为1225.abc（Ⅱ）221115cos,sin1cos1().444CCC15sin154sin28aCAc,acAC，故A为锐角，22157cos1sin1().88AA71151511cos()coscossinsin.848816ACACAC3、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为cba,,（1）若,cos2)6sin(AA求A的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.【分析】本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。【解析】（1）由题设知0cos,cos3sin,cos26sincos6cossinAAAAAA所以从而，.3,0,3tanAaA所以因为（2）由.,cos23,31cos222222cbaAbccbacbA得及故△ABC是直角三角形，且31cossin,2ACB所以.4、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA-2cosC2c-a=cosBb．（I）求sinsinCA的值；（II）若cosB=14，b=2，ABC的面积S。【解析】（I）由正弦定理，设,sinsinsinabckABC则22sinsin2sinsin,sinsincakCkACAbkBB所以cos2cos2sinsin.cossinACCABB即(cos2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB，化简可得sin()2sin().ABBC又ABC，所以sin2sinCA因此sin2.sinCA（II）由sin2sinCA得2.ca由余弦定理22222212coscos,2,4144.4bacacBBbaa及得4=a解得a=1。因此c=2又因为1cos,.4BGB且所以15sin.4B因此111515sin12.2244SacB三、学法提炼1、专题特点：详细分类正弦定理求解三角形的题型，余弦定理求解三角形题型，综合题型，所对应的求解方法的使用，根据条件不同使用正弦定理和余弦定理2、解题方法：根据题设已知的边角关系求解三角形，判断是使用正弦定理还是余弦定理，或者二者皆可，再结合相关知识点，面积的求解公式等等求解3、注意事项：题设的已知条件的判断，使用正弦余弦定理的正确性，计算的细致解三角形的几何应用一、专题精讲例1、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED则sinCED（）A、31010B、1010C、510D、515【答案】B【解析】2EBEAAB，22415E