第三章 量子力学中的算符12

第三章量子力学中的力学量算符厄米算符的本征函数动量算符和角动量算符电子在库仑场中的运动基本对易关系重点：厄米算符平均值角动量算符对易关系第一节算符operator算符算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号vuFˆFˆ就是一个算符算符的引入规则•如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式F(r,p)中将动量p换为动量算符得出),(ˆ)ˆ,ˆ(ˆiFFrpr名称力学量Operator算符坐标动量势能动能总能量角动量经常遇到的力学量所对应的算符rrrˆpipˆ)(rU)()(ˆrUrUmpT222222ˆˆmmpT)(rUTE)(ˆˆˆrUTHprL)(ˆˆirprL简并degeneration•当算符Â的某一本征值n的本征函数不止一个，而是f个线性无关的函数n1、n2、nf，则称该本征值f度简并。ninniAˆ),,2,1(fi•若一个算符作用在波函数上得出一个常数乘以该波函数，如，则称此方程为该算符的本征方程，称此常数fn为算符F的第n个本征值，波函数为fn相应的本征波函数nnnfFˆ算符的本征值和本征函数线性算符linearoperator设u1、u2为任意函数，c1、c2是任意两个复常数，如果22112211ˆˆ)(ˆuAcuAcucucA则称Â为线性算符•x、d/dx是线性算符，而开方运算不是线性算符•量子力学中用来表示力学量的算符，都是线性算符•是态叠加原理的要求设11ˆA22ˆA根据态的叠加原理也就是假设说是二度简并的2211cc也是算符Â的本征态，应有Aˆ当Â为线性算符时)(ˆˆ2211ccAA)(2211cc1厄米算符Hermitianoperator设u、v为两个任意函数，如果算符Â满足dvAudvuA)(ˆ)()()](ˆ[rrrr则称Â为厄米算符量子力学中代表力学量的算符必须是线性厄米算符——量子力学的又一基本概念•厄米算符在任意状态下的平均值必须是实数•力学量观测值必须是实数，要求算符的本征值是实数•线性厄米算符的作用就是把态空间中的一个元素变成另一个元素•线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系（1）厄米算符本征函数的正交归一性(Orthonormality))(0)(1)()(nmnmdmnnmrr（2）完备性(Completeness)设1、2、、n，是某一线性厄米算符的本征函数系，任何与{n}满足同样边界条件且在同样区间定义的波函数,都可以按{n}展开，即厄米算符的本征函数(本征态)具有正交、完备性1)()()(nnntcrt,rdcnn•若在每个r处，此无穷级数都收敛到Ψ(r,t)，则称{n}是完备的第二节2力学量的平均值(AverageValues)(1)力学量处于本征态时设厄米算符Â的本征函数分别为1、2、、n，所属的本征值为，1、2、n，当体系处于n时，力学量A有确定的值n，nnnAˆ（2）当体系处于Â的非本征态时，力学量A为何值？•在非本征态中测量力学量的值为一平均值，当体系处于算符Â的非本征态时，测量力学量A所得为平均值，如果已经归一化，力学量的平均值为dAA)(ˆ)(rrddAA)()()(ˆ)(rrrr如果尚未归一化，力学量的平均值为122221nccc利用归一化条件1)(ˆ)(ˆnnnAcArr用*左乘上式并对全空间积分dcAcdAnnnmmm)(ˆ)()(ˆ)(11rrnncccA2222121111**dccdnnnmmm根据本征函数的完全性1)()(nnncrr力学量的平均值为：所以为在Ψn态中，A取λn的几率2nc)]()([21)(31xxx状态时，粒子的能量？)](ˆ)(ˆ[21)(ˆ31xHxHxH)]()([213311xExEExxE)]()([2131也就是说，此时粒子不处于本征态。在此状态下，测量粒子的能量由于波函数是归一化的)(2131EEEmamama25)292(21222222),0(,0)0(,sin/2)(axxaxaxnaxn本征函数为：解：例：设粒子在一维无限势阱(0,a)中运动，如果描述粒子状态的波函数为3轨道角动量算符的本征值和本征函数(1)轨道角动量算符定义prLˆˆzyxzyxpppzyxeeeˆˆˆyzxpˆzpˆyLˆ)(yzzyizxypxpzLˆˆˆxyzpypxLˆˆˆ2222ˆˆˆˆzyxLLLL•若位势与坐标的方向无关，即，则称此位势为中心力场•粒子若在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物理量•为区别自旋角动量，将其称之为轨道角动量)()(rVrV第三节(2)本征问题),(1),(ˆ,2,2mlmlYllYLSpherical-harmonics,3,2,1,0llm,3,2,1,0l称为角量子数，表征角动量的大小A的本征方程•本征函数),(lmYm称为磁量子数),(),(sin1)(sinsin122222lmlmYY2ˆL•本征值为22)1(llL球谐函数，不仅应当在全空间有限，而且是一个单值函数例如：l=2时),(6),(ˆ,22,22mmYYLm可以取-2,-1,0,1,2;五个值),(6),(ˆ2,222,22YYL),(6),(ˆ1,221,22YYL),(6),(ˆ0,220,22YYL),(6),(ˆ1,221,22YYL),(6),(ˆ2,222,22YYL),(),(ˆlmlmzYmYL本征值mLz本征函数),(lmYBLz的本征值和本征函数•Lz表示体系的轨道角动量在z轴方向的投影一个本征值对应2l+1个本征函数，本征值是2l+1度简并的(3)讨论算符的本征值是量子化的，只能取断续值除了的基态外，算符的所有本征值都是简并的，且简并度为),(1),(ˆ,2,2mlmlYllYL),(),(ˆlmlmzYmYL,3,2,1,0llm,3,2,1,00l2ˆL12lfzLLˆˆ2与例题若粒子处于状态),(31),(31),(35),(312021YYY求：分别测量的可能取值与相应的取值概率zLLˆˆ2与解：首先判断波函数是否是归一化的状态其次计算各种条件下各力学量的可能取值和取值概率222)1(LˆllL的本征值为：算符llmlmcllL222)1(W）＝（mLLzz的本征值为：算符ˆ在态下，相应的取值概率公式为31c12W23122）＝（L32cc6W22022122）＝（L91c0W220z）＝（L98ccW231221z）（L4类氢原子的波函数和能量本征值(1)分离变量法求解定态方程，可以得到满足波函数条件的解设),()(),,(lmnlnlmYrRr在球坐标下，薛定谔方程变为ERYRYrZeRYrrrmrs2222222sin1)(sinsin12),(lmY•类氢原子中的电子有三个自由度，因此要用三个量子数n,l,m来描述其运动状态•Rnl(r)是径向函数•是角度部分的波函数，称球谐函数主量子数：n角量子数：l磁量子数：m能量角动量角动量在z轴上的投影第四节（2）本征能量能量取下列离散值时，才有满足波函数有限性条件的解,3,2,1,12220222242nnaeZnemZEssn电子的能量只与量子数n有关,n称为主量子数20204mea玻尔第一轨道半径•氢原子的基态能量为•若要使处于基态的氢原子电离，必须外加13.6eV的能量•随量子数n的增加，氢原子能级间隔越来越小，当n→∞时能级接近连续分布eVaeEs6.132021氢原子能级图EoE1E2（3）能级的简并度),()(),,(ˆlmnlnnlmYrRErH电子的能级En只与主量子数n有关对应一个n值，l可以取0,1,2n-1共n个对应一个l值，m又可以取0,1,2,…l共2l+1个•l、m不同，函数),(lmY)(rRnl的形式不同•同一能量级对应着不同的本征函数——库仑场中运动的电子能级是简并的简并度为电子的能级是n2度简并的)12(l10nl102nlln2n例1对能级242318semZE简并度是9，9个不同的波函数(9个不同的本征态)有相同的能量它们是2l1,0m0l2,1,0m322321320132232,,,,1l311310131,,0m300例2：氢原子中的电子处于),,(43),,(41),,(211321rrr状态，求：(1)归一化的波函数(2)能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？(3)角动量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些值的几率，并求平均值？(4)角动量的z分量有无确定值？如果有，求其本征值dA2000211321*211321243414341dA20002211321*211211*32123212169163163161利用本征函数的正交性，得到22851691611AA所以5102A归一化的波函数为),,(103),,(101),,(211321rrr解:(1)设归一化常数为A，利用归一化条件drA20002),,(1(2)),,(103),,(101ˆ),,(ˆ211321rrHrH),,(103),,(10121123213rErE),,(rE所以此波函数不是能量的本征函数，在此态中能量无确定值，能量的可能值为E2和E3，能量的平均值为23109101EEE2414417sme(3)容易证明此波函数不是角动量平方算符的本征态),,(103),,(101ˆ),,(ˆ21132122rrLrL),,()11(1103),,()12(210121123212rr),,(2103),,(610121123212rr),,(2rL角动量平方的可能值为2622101101)6(22w109103)2(22wL2平均值：2225121018106),,(103),,(101211321rr),,(103),,(101211321rr),,(r是其本征函数，本征值为(4)),,(103),,(101ˆ),,(ˆ211321rrLrLzz作业题：1氢原子中的电子处于310311210414121),,(r求:(1)归一化的波函数；(2)能量有无确定值？如没有，求其能量的可能值和取这些值的几率(3