蒋宏IIR数字低通滤波器设计

1贵州大学计算机科学与信息学院《IIR低通滤波器设计》论文题目IIR低通滤波器设计姓名蒋宏学号0908060337专业网络工程班级09级2第1章滤波器简介从广义上讲，任何对某些频率（相对于其他频率来说）进行修正的系统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。1.1滤波器的工作原理1.1.1模拟滤波器的工作原理我们知道，模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线性时不变系统，如图1.1所示。在时域内，它的动态特性可以用系统的单位冲激函数的响应)(tha来描述，也就是该滤波系统在任何时刻对输入单位冲激信号txa=δ（t）的输出响应thtyaa。这个函数从时域上反映了该滤波系统的传输特性。对于任意输入信号txa，系统的输出tya可以卷积表示：3dtxhtyaaa=dthxaa(1.1)上式表明在对线性滤波器系统进行时域分析时，采用了叠加原理，先将任意输入信号波形分成不同时间的窄脉冲之和，再分别求出各个脉冲通过滤波器之后的响应，并进行线性叠加从而得到总的输出信号。图1.1模拟滤波器原理在频域分析时，线性滤波器的转移函数SHa等于系统的单位冲激函数的响应)(tha的拉普拉斯变换：dtehHstta（1.2）很明显，当s=jω，上式就是傅立叶变换的表达式，它反映了滤波器的传输特性对各种频率的响应，也就是滤波器的频率响应函数jHa，它决定着滤波特性。当滤波器输入信号txa与输出信号tya的拉普拉斯变换，得sXsHsYaaa（1.3）这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入信号的频谱jaX，经过滤波器的作用后，被变换成jXjHaa的频谱。因此，根据不同的滤波要求来选定jHa，就可以得到不同类型的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的滤波过程就是完成信号txa与它的tya模拟滤波器)(tha,H(s)syasxatxa4单位冲激函数响应tha之间的数学卷积运算过程。1.1.2数字滤波器的工作原理在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图1.2所示。设输入序列为nx，离散或数字滤波器对单位抽样序列n的响应为nh。因n在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。图1.2数字滤波器原理数字滤波器的序列ny将是这两个序列的离散卷积，即kknxkhny（1.4）同样，两个序列卷积的z变换等于个自z变换的乘积，即zXzHzY（1.5）用Tjez代入上式，其中T为抽样周期，则得到TjTjTjeXeHeY（1.6）式中TjeX和TjeY分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而TjeH为单位抽样序列响应nh的频谱。由此可见，输入序列的频谱TjeX经过滤波后，变为TjTjeXeH，按照TjeX的特点和我们处理信号的目的，选取适当的TjeH使的滤波后的TjTjeXeH符数字滤波器nh,H(z)zxnxnyzy5合我们的要求。1.2滤波器的基本特性1.2.1模拟滤波器与数字滤波器的基本特性如利用模拟电路直接对模拟信号进行处理则构成模拟滤波器，它是一个连续时间系统。如果利用离散时间系统对数字信号（时间离散、幅度量化的信号）进行滤波则构成数字滤波器。数字滤波器的差分方程表示为：NiMkkkknxainybny10)()()(系统函数表示:NiiiMkkkzbzazXzYzH101)()()(数字滤波器的特性通常用其频率响应函数)(jeH来描述，包括幅度特性)(jeH和相位特性))(arg(jeH。按信号通过系统时的特性（主要是幅频特性）来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。（1）低通数字滤波器：图1.3所示ccjjeHeH0)()(|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π-fs/2-fsfs/2fs-fcfcfπ6图1.3低通数字滤波器的频谱（2）高通数字滤波器：图1.4所示ccjjeHeH0)()(图1.4高通数字滤波器的频谱（3）带通数字滤波器：图1.5所示0||,0)()(212eHeH1jj图1.5带通数字滤波器的频谱（4）带阻数字滤波器：图1.6所示22100||,)()(1jjeHeHω1|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2π-ω1|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2πω1-ω1|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π7图1.6带阻数字滤波器的频谱其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。1.2.2无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器按系统冲击响应（或差分方程）可以分成无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器两类。这两种滤波器都可以现实各种频率特性要求，但它们在计算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。(1)FIR滤波器(非递归型):10)()()(Nmmnxmhny10)()(NnnZnhZH(2)IIR滤波器（递归型）NkMkknxbknyanykk10)()()(NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(还有一些其他的分类方法，例如在特定场合使用的滤波器。1.3滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益；通带截止频率p；阻带截止频率s。如图1.7所示8第2章模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth滤波器.切比雪夫（Chebyshev）滤波器等。这些工作的理论分析和设计方法在20世纪30年代就完成，然而烦琐.冗长的数字计算使它难以付诸实用。直到50年代，由于计算机技术的逐步成熟，求出大量设计参数和图表，这种方法才得到广泛应用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有波动发，可以提高选择性。这样根据具体要求可以选择不同类型的滤波器。模拟滤波器按幅度特征可以分成低通、高通、带通和带阻滤波器。它们的理想幅度特性如图2.1所示，但我们设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器αdB0dBβdBpsωTjaeH图1.7滤波器的主要技术指标92.1模拟滤波器的设计方法利用频率变换设计模拟滤波器的步骤为：（1）给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率0或上、下边界频率21,等。（2）确定滤波器阶数（3）设计模拟低通原型滤波器。（4）按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。模拟低通滤波器的设计指标有p，p和s，其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率。p是通带Ω（=0—p）中的最大衰减系数，s是阻带Ω≥s的最小衰减系数，p和s一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：带通带阻图2.1模拟滤波器理想幅度特性低通高通102)2)()0(lg10paapjHjH（2.1）2)2)()0(lg10saapjHjH（2.2）如果Ω=0处幅度已归一化为一，即1jHa，p和s表示为2)(lg10papjH（2.3）2)(lg10sasjH（2.4）以上技术指标用图2.2表示，图中c称为3dB截止频率，因21cajH,-20dBjHca3图2.2低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数sHa，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此10.707jHa0csp11js2|)()()(sHaHjHaaa=)()(jHjHaa(2.5)如果能由p，p，s，s求出2jHa，那么就可以求出所需的sHa，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。这里要说明的是sHa必须是稳定的。因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的sHa的极点落在右半平面。2.2模拟原型滤波器及最小阶数的选择2.2.1巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择巴特沃斯滤波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅频特性模平方为222))(11()(NcajH(2.6)式中N是滤波器的阶数。当Ω=0时，1jHa；当Ω=c时，21jHa，c是3dB截止频率。不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性如图2.3所示，这一幅频特性具有下列特点：（1）最大平坦性：可以证明：在Ω=0点，它的前（2N-1）阶导数都等于0，这表明巴特沃斯滤波器在Ω=0附近一段范围内是非常平直的，它12以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。“最平响应”即由此而来。（2）通带，阻带下降的单调性。这种滤波器具有良好的相频特性。（3）3dB的不变性：随着N的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅频特性都通过-3dB点。当Ω≥c时，特性以20NdB/dec速度下降。图2.3不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性现根据式（2.6）求巴特沃斯滤波器的系统函数Ha（s）。令Ω=s/j，带入式（2.6）NcNNcNcaajsajsjjssHsHjH22222)()()(11)()()(对应的极点：022NcNjs21221221kNjcNckejs(2.7)ks即为sHsHaa的极点，此极点分布有下列特点：(1)sHsHaa的2N个极点以π/N为间隔均匀分布在半径为c的圆周上，这个圆称为巴特沃斯圆。13(2)所有极点以jΩ轴为对称轴成对称分布，jΩ轴上没有极点。(3)当N为奇数时，有两个极点分布在cs的实轴上；N为偶函数时，实轴上没有极点。所有复数极点两两呈共轭对称分布。图2.4画出了N=3时的sHsHaa极点分布。全部零点位于s=∞处。图2.4N=3时Ha（s）Ha（-s）极点分布为得到稳定的sHa，取全部左半平面的极点。NkkNcasssH1（2.8）当N为偶数时2122212212cos2NkccNckNkkNcasNkssssssH（2.9）当N为奇数时cjΩδc14211222212cos2NkcccNcassNkssH（2.10）为使用方便把式（2.9）和式（2.10）对c进行归一化处理，为此，分子分母各除以Nc，并令css，s称为归一化复频率：NkasNk