积化和差与和差化积

3．4三角函数的积化和差与和差化积知识与技能目标学习目标1.会推导三角函数的和差化积与积化和差公式2.会简单的三角函数的和差化积与积化和差的应用1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的．2．积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视．过程与方法目标数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积．在实际应用，他们又是相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机．情感、态度与价值观目标教学重点：理顺三角公式变换的相互关系，掌握积化和差与和差化积公式的推导过程，并能用它们解决一些实际问题，以及用好用活教学难点：(1)公式的推导．(2)公式的应用．(3)三角式的恒等变换的一般规律．学习重难点知识链接sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)问题1：把(1)式与(2)式相加可得？sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．问题2：把(1)式与(2)式相减可得？sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．问题3：(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到？cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．课前预习以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式．问题4由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下几个公式：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆，可作如下的换元：这样我们就得到如下的三角函数的积化和差公式例1求sin75°·cos15°的值．法1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．法2：由于75°与15°互为余角，所以可以采用以下的解法．法3：由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了．1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°2．cos37.5°·cos22.5°练习1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值2．求cos37.5°·cos22.5°的值而sin20°·sin40°·sin80°法2：例3求sin42°-cos12°+sin54°的值．解：原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=cos54°-sin18°=2sin36°sin18°．3．求cos20°+cos100°+cos140°．=cos40°+cos140°=0．4．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC．证明：∵A、B、C为△ABC的三内角．∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC．达标练习1本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式。2遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积化和差，可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况多半会组合出特殊角)，然后再与其他的三角函数继续进行下去．课堂小结课后作业P231中3；P236中1、2．