本章主要讨论二次型的基本概念及二次型的标准化问题

第六章二次型本章主要讨论二次型的基本概念及二次型的标准化问题。§6.1二次型及其标准化§6.2用配方法化二次型为标准型§6.3正定二次型第一节二次型及其标准化1222212111222121213131,1,,...,(,,...,)...22...2(1).,2nnnnnnnnnijjiijijijijjijinxxxfxxxaxaxaxaxxaxxaxxaaaxxaxxaxx含有个变量的二次齐次函数称为二定次型取则义.2111121211221212222221122,1(1)......(2)..................nnnnnnnnnnnnijijijfaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxx于是式可写成111112212211222211221......(3)..................(3)(1)nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycyfky关于二次型要讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换使二次型只含平方项，也就是将代入，能使222122...nnijijkykyafaf这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）。当为复数时，称为复二次型；当为实数时称为实二次型。1112112122221212111212122212(3)......(,,...,).....................................nnnnnnnnnnnnaaaxaaaxfxxxxaaaaaaaaaaaA下面仅讨论实二次型，所求的线性变换也限于实系数范围。利用矩阵，二次型可表示为：若记12,......nnnxxxafffxxAxAAA，则二次型可记作。其中为对称矩阵。并把对称矩阵叫做二次型的矩阵，也把叫做对称矩阵的二次型()(3)()()()()1ijfcfRRACxCyxAxCyACyyCACyCBCACABBAAAABCACCACCACB对称矩阵的秩叫做二次型的秩。若记，那么可逆线性变换可记作，从而任给可逆矩阵，令，如果为对称矩阵，则亦为对称定理.证矩阵，且为对称矩阵，：即有于是（）即111()().()()()()()()()()()RRRRRRRRRRBBABCACBACAACBCABCBBA为对称矩阵。再证因，故，又，故，于是2221122121......4nnnffkykykykkkxCyACACxCyyCACyyyCACAP定理说明，经可逆变换后，二次型的矩阵由变为，且二次型的秩不变。要使二次型经可逆变换变成标准形，这就是要使：也就是要使成为对角矩阵。由上节定理知，任给实对称矩阵，总有正交矩阵，使注：1.PAPΛ,1222112212()...,...,()nijijijjiijnnnijfaxxaaffyyyfaxPyA把此结论应用于二次型，即有下面定理：任给二次型总有正交变换，使化为标准形其中,是的矩阵的特征值.定理2.1213142324342222220111101111011110111111111111111111(1)1111111fxxxxxxxxxxxxxPyAAE求一个正交变换把二次型化为标准形。二次型的矩阵为它的特征多项式为解：例1.1232223123411111012212(1)(1)0212210001(1)(23)(1)(3)313(3)0311113113~11311113rrrrAAExAE于是的特征值为当时，解方程由4141111131111311113rT1T1234111111111001022001100101~~~02200011001102240000000011111111121()0.1111111111111111ξpAExAE得基础解系，单位化即得当时，解方程由11110000~00000000TTT234T2T3T4110000111101111002211002211112222ξξξppp可得基础解系，，单位化即得112233442222123411102221110222111022211102223xyxyxyxyfyyyy于是正交变换为且有第二节用配方法化二次型为标准型用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点。如果不限于用正交变换，那么还可以有多种方法（对应有多个可逆的线性变换）把二次型化成标准形。这里只介绍拉格朗日配方法。下面举例说明这种方法。2221231213231125226.fxxxxxxxxxfxx化二次型成标准形，并求所用的变换矩阵。由于中含变量的平方项，故把含的项归并起来，可得解：配方例122211213232322222123232323232221232233122123231123222256()2256()44()(2)fxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxxyxxxy上式右端除第一项外已不含有的项，而后面三项正好是一个完全平方和公式令1123232233333221222111012(1)001xyyyxxxyyyxxyffyyCC即就把化成标准形所用变换矩阵为12132312112212332212132322213233113222622482()2(2)6fxxxxxxfxxxyyxyyxyfyyyyyyfyyyyyzyyzy化二次型成标准形，并求所用的变换矩阵。在中不含平方项。由于含有乘积项，故令代入可得：再配解方得：令：例2.11323223333322yzzyyzzzyyz即1一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形。且由上节的定理可知，标准形中含有的项数，就是二次型的秩。注：2221232261101011131-10012111001001001fzzzC即有所用变换矩阵为第三节正定二次型222112222211221212...(0,1,2,...)...(01,2,...,),,...,,,...,rrirrirrfrfkykykykirfzzzirkkkxAxxCyxPz设有实二次型，它的秩为，有两个实可逆变换及使及惯性，则中正数的个数与中正数的数。理等定个相定理()一、惯性定理二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是二、正定二次型()0()0()ffffffnffxAxx0xAx0xAxAxxCyx设有实二次型如果对任何，都有则称为正定二次型，并称对称矩阵是正定的；如果对任何，都有则称为负定二次型，并称对称矩阵是负定的.实二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形中的个系数全为正.设可逆变换使义.证：定定理2.21().0(1,2,...,)niiiikykinCy先证充分性设121()0.()0()()00(1,2,...,)niiisssssifkykfkfkinx0yCx0xyeCeCe0A任给，则，故再证必要性用反证法假设有，则当单位坐标向量时，显然，，这与为正定相矛盾。因而对称矩阵为正定推论.A的充分必要条件是：的特征值全为正。111111211212211111()...0,0,...,.........0......(1).........0...nnnnrrrrraaaaaaaaaaaaaAAA霍尔维茨定理对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式都为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即定理3.(1,2,...,)rn222123121322212312132221232323222123233657446574411131946()3333311132816()()333131.13fxxxxxxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx判定二次型是否为正定二次型。用配方法化二次型为标准形，然后由标准形判定其正定解法性。由于例1112322222312333113321381613313yxxxyxxfyyyyxf令则故是正定二次性。123622250207622250(3)(6)(9)20732,6,9fAAEA计算二次型矩阵的特征值，看是否全大于零。所以的特征值为均为正值，故知为正定解法二次型。116222502076226260,260,2501620252073afAA用二次型矩阵的各阶主子式是否全大解法于零判断。故知为正定二次型。22212312132322522411121251t10,10,540t1.fxxxtxxxxxxtfttftttAA设二次型是正定的，试确定的取值范围。的矩阵为为正定的充分必要条件是顺序主子式均大解于零，即：例2224100,5405405tttttf解不等式组得即当时是正定二次型。22211564445222602045250,26,.800,263.fxyzxyxzfafAAQ判别二次型的正定性。的矩阵为根据定解：理知为负定例3