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因數、倍數、概數本質概念探討組員：傅薏靜王怡潔一、因數〈一〉因數：以除法的觀點，由總量為問題為起點，探討可能組成的單位量。例如：總量12，12是以「壹」為單位量來描述，共有12個「壹」，故一定可以「壹」為單位量來組成12，若12改用「2」為單位量來描述，共有6個「2」，也能夠以「2」為單位量來組成12，可是改用「5」為單位量來描述時，12無法用整數個「5」來描述（只在整數範圍內討論因、倍數的意義），所以無法以「5」為單位量來組成12，12可以由1，2，3，4，6，12這些單位量組成。〈二〉學習因數的方法：透過下列三種問題情境，幫助學童逐步形成因數的概念。1.在方陣排列問題中，探討給定總量的方陣的可能排法：例如：先給定一個總量（以12個全等的小正方塊為例），要求學童將小正方塊排成長方形，要剛好分完而且每一排要一樣多。（不可排成中空的長方形），引導兒童應用各種的排列方式，找出所有可能的長方形，以建立初步的因數概念。讓學童經驗給定總量的方陣可以有不同的排法。一、因數一、因數2.從除法的觀點，使用除法（包含除與等分除）解決剛好分完的情況，再用除號的方式紀錄問題。例：透過問題「有12個小朋友，全部分組做實驗，各組人數都要一樣多，一組可以有多少個小朋友，分分看？」，幫助學童掌握總量可以由哪些單位量組成的意義。（例如：12可以1、2、3、4、6、12為單位量組成）3.在倍的問題情境中，給定總數，要求學童解決可能組成單位量的數值問題：例：透過問題「幾包牙刷合起來有16支，每一包牙刷的支數都一樣多，一包可以有幾支牙刷？」，幫助學童掌握哪些單位量可以組成總量的意義。二、因數與倍數的關係〈一〉在數學上，如果a是b的倍數（b是a的因數），則a，b要滿足下列三個條件：（a）a，b都是整數；（b）b≠0；（c）存在一個整數q，滿足a＝b×q。〈二〉整除是兩數之間的一種關係，如果甲乙兩個整數之間存在著甲數除以乙數所得的商是整數，餘數是零，甲數是乙數的倍數，乙數是甲數的因數。例如：15÷3＝5……0，15是3和5的倍數，3和5是15的因數。三、倍數〈一〉倍數概念的形成：1.低年級課程：依序以「三」、「六」、「二」、「五」、「十」、「七」、「九」、「十二」為集聚單位，引導學童進行計數活動，並且能透過多步驟合成的解題活動，決定數個集聚單位，如果重新用「一」為單位時，其總數量為多少，進行倍數問題的學習。2.中年級課程：本階段將問題範圍逐步擴充至新的範圍，繼續加強學童進行倍的活動的經驗。3.高年級課程：直接引入倍的意義，因此透過乘數未知的乘法算式填充題「2×（）＝10」，先要求學童解題，再經由語言的轉換，2的5倍是10，所以10是2的5倍，引入倍數的意義：「10是2的5倍，而且2.5.10都是整數，所以說10是2的倍數」當學童有能力與方法判斷某數是否為另一數的倍數時，以某一正整數為起點，使用乘以整數倍的方式，求出該正整數在某一數量範圍內的所有倍數。三、倍數〈一〉倍數的意義：倍數問題是討論一個正整數，可以由這個正整數為單位量，經由乘法的方式來產生哪些正整數。例：12有哪些倍數時，1個12是12、2個12是24、3個12是36、4個12是48…..，所以12、24、36、48、都是12的倍數。〈二〉倍數的求法：可以使用逐一乘以正整數的方式來計算，要求兒童算出某範圍的所有倍數或經由乘法算是填充題方式，如2×（）＝24，24是2和12的倍數。＊質數與合數1.質數：如果只有1和自己兩個因數，則該正整數稱之為質數。2.合數：如果除1和自己兩個因數外，還有其他的因數，則該正整數稱之為合數。問題：1是不是質數？教師應說明1不在質數的討論範圍之內，質數的討論範圍在比1大的正整數內。四.公因數1.意義：兩個正整數有哪些共同的因數，這些共同的因數就稱為公因數。2.作法：（1）先分別求出兩數的所有因數，再由其中找出共同的因數。例如：Q：12與18的公因數為哪些？A：12的因數有：1.2.3.4.6.1218的因數有：1.2.3.6.9.18由以上有底線的部分知道12與18的公因數為1.2.3.6四.公因數（2）先找出某一數的所有因數，再判斷這些因數是否為另一數的因數。例如：Q：12與18的公因數為哪些？A：12的因數有：1.2.3.4.6.1218可被1整除，所以1是18的因數，依序做2.3.4.6.12是否可整除18。找出公因數為1.2.3.6。五.公倍數1.意義：兩個正整數有哪些共同的倍數的問題，這些共同的倍數稱為公倍數。2.作法：a.先分別求出兩數在某一數量範圍內所有的倍數，再由其中找出共同的倍數。b.先找出某一數在某一數量範圍內所有的倍數，再判斷這些倍數是否為另一數的倍數。六.概數高年級課程：使用單位量轉換的觀點，來處理概數的問題，以兩位數（幾十幾）的概數活動為例，一個兩位數（例如：56）。「無條件捨去法」：例如：384701記成「38萬」「無條件進入法」：例如：384701記成「39萬」「四捨五入法」：例如：384701記成「38萬」＊質因數分解1.質因數：一個質數如果是某一個整數的因數，簡稱它是該整數的「質因數」，例如：2是質數，2也是20的因數，所以2是20的質因數。1不是質數，所以１不會是任何整數的質因數。2.質因數分解：將一個整數表示成其質因數連乘積的活動。例如：60的質因數分解為2×2×3×5。＊短除法1.意義：利用算術基本定理，將18與24先分解為質因數的連乘積（18＝2×3×3，24=2×2×2×3），再透過找出共同質因數乘積的方式，找出最大公因數是2×3。2.作法：3182426834＊短除法3.迷思：現階段學童無法了解算術基本定理，因此無法理解使用質因數分解引入的短除法解題方式，雖然學童可以模仿成人的步驟，透過短除法的格式，來求出最大公因數，但是當學童找出2是18與24的因數，再找出3是9與12的公因數時，無法理解為什麼2×3會是18與24的最大公因數。基於上述理解上的困難，本教材暫時不引入使用短除法求最大公因數的解題策略。＊最大公因數與最小公倍數1.最大公因數：2個整數中最大的共同因數。例如：12，18的最大公因數為6。2.最小公倍數：2個整數中最小的共同倍數。例如：12，18的最小公倍數為36。