IIR数字滤波器的原理及设计

第6章IIR数字滤波器的原理及设计6.1概述6.1.1IIR数字滤波器的差分方程和系统函数我们已经知道IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变因果系统，其差分方程可以写为：（6.1）MiNiiiinybinxany01)()()(进行z变换，可得：于是得到IIR数字滤波器的系统函数：(6.2)MiNiiiiizYzbzXzazY01)()()(NiiiMiiizbzazXzYzH101)()()(6.1.2IIR数字滤波器的设计方法对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有三种方法。NiiMiiNiiiiMiizdzcazbzazH1111010)1()1(1)(1.零极点位置累试法IIR系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点处出现谷值,因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。2.借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起来方便准确。而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的,因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用了这种方法。3.用优化技术设计系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数，设计过程也就到此完成。这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算机，因而优化设计又叫做IIR滤波器的计算机辅助设计(CAD)。第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用得最多的第二种方法。6.1.3借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后由Ha(s)经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。6.2模拟低通滤波特性的逼近模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。模拟系统的频率响应Ha(jΩ)是冲激响应ha(t)的傅里叶变换，Ha(jΩ)的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何根据幅频特性指标来设计系统函数。图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波器的指标，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2来给出的。Ωc是截止频率，当0≤ΩΩc时，|Ha(jΩ)|2=1，是通带；当ΩΩc时，|Ha(jΩ)|2=0，是阻带。图6.1中的实的曲线表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。6.2.1Butterworth低通滤波特性的逼近对于Butterworth滤波器有：（6.4）满足此平方幅度特性的滤波器又叫做B型滤波器。这里N为正整数，为B型滤波器的阶次，为截止频率。|()|[()]HjaNc22116.2.1.1B型滤波特性1.最平坦函数B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在=0附近以及很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。2.3db带宽由(6.4)式可知，当Ω=Ωc时，=，而因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。dbjHca3log10|)(|log102110210|()|Hja212图6.1Butterworth低通滤波器的平方幅度特性3.N的影响在通带内，0(Ω/Ωc)1，故N越大，随增大而下降越慢；在阻带内，(Ω/Ωc)1，故N越大，随增大而下降越快。|()|Hja2|()|Hja2因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形形状；而不同的N所对应的特性曲线都经过Ωc处的半功率点。离Ωc越近，幅频特性与理想特性相差越大。6.2.1.2由得到Ha(s),B型滤波器的极点由于Ha(s)是s的实系数有理函数，故有：，令s=jΩ,则有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6)HsHsaa**()()HjHjaa*()()|()|()()()()*HjHjHjHjHjaaaaa2HjHjaaNjjNcc()()[()][()]111122])(1[1)()(2NjsaacsHsH图6.2阶次N对B型特性的影响(6.6)式的极点为：p=0,1,…,2N-1作为–1的2N次方根，αp均匀地分布在单位圆上，幅角间隔为π/N；它们关于实轴对称，却没有一个在实轴上。显然，将的模乘上，再将其按逆时针方向旋转，就得到sp。因此，sp均匀地分布在半径为的圆周上，其位置关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上，这就是说，2N个极点sp在s平面的左、右两半平面各有N个。pcNcpjjs)2/(1)1(这2N个极点是Ha(s)Ha(-s)的极点，考虑到系统函数Ha(s)的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半s平面的N个极点sk（k=0,1,…,N-1)分给Ha(s)，这样，右半平面的N个极点-sk就正好是Ha(s)的极点。因此有：(6.8))())(()(110NNcasssssssH这个式子中的常数是为了使(6.5)式满足而加入的。这N个极点s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共轭形式成对出现，当N为奇数时,有一个在实轴上(为-)。cNc6.2.1.3一般情况下的B型低通滤波器图6.3一般情况下低通滤波器的设计指标此时，应该将角频率标称化，通常以Ω1为基准频率，则标称化角频率为：Ω’=Ω/Ω1。于是通带边界的标称化角频率为Ω1’=1，并且在通带有0≤Ω’≤1，在过渡带和阻带则有’1。以下为了方便起见，仍用不带撇的表示标称化的角频率。频率标称化后，B型滤波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的参数和N都需要由图6.3给出的指标来确定。（6.4）式可以写成：(6.10)当Ω=Ω1=1时，上式为：(6.11)令(6.12)则由(6.11)式可得：])(1[1|)(|2212NNacjH21221])1(1/[1)(AjHNca221)(BNcBA21211当时有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再将其代入(6.12)式，即可求得。22222222]1[1|)(|ABjHNa22222/)11(BANc6.4冲激响应不变法本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)的情况下，如何求相应的数字滤波器的系统函数H(z)。s是模拟复频率，Ha(s)也是模拟滤波器的冲激响应ha(t)的拉氏变换。6.4.1冲激响应不变法的变换方法模拟滤波器的系统函数通常可以表示为：(6.62)NkkMiiNkkkMiiiassssAsbsasH1100)()()(而且一般都满足MN，因此，可以将上式化为部分分式之和的形式，即：(6.63)对(6.63)式两边进行拉氏反变换，可得：(6.64)NkkkassAsH1)()()]([11tueAsHLthNktskaak令数字滤波器的单位抽样响应：(6.65)对上式进行z变换，便得到数字滤波器的系统函数：(6.66)1110111NkTsksnnTsNkksnNknsnTsksnnzeATzeATznTueATznhzHsksksk)()()(1snTsNkkssasnTueATnThTnhsk上式中的幂级数收敛应该满足条件：即实际上，只要将模拟滤波器的系统函数Ha(s)分解为(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以写出相应的数字滤波器的系统函数H(z)。1||1zeskTs||||skTsez这一变换方法的关键是：h(n)=Tsha(nTs)，此关系称为冲激响应不变准则，由此准则出发所得到的变换方法就叫做冲激响应不变法。冲激响应不变法所得到的数字滤波器保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，这是这种变换方法的一大优点。6.4.2模拟滤波器与数字滤波器的频率响应之间的关系已经知道，抽样信号的频谱是原模拟信号的频谱的周期延拓，即(6.67)而(6.68))(ˆaX)(Xansaa)n(XT1)(X)()()(sTjjaeXeXX其中，和分别为数字角频率和模拟角频率。也就是说，离散信号的频谱既可表示为数字频率的函数也可表示为模拟频率的函数。又知道，对于离散信号的傅里叶变换，有：或：(6.69)由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有：(6.70)sTnjnjenxeX)()(nTjnTjessnxeX)()(nsanTjnsnXnxTes)()((6.70)式左边表示离散信号Tsx(n)的频谱，而Tsx(n)是对模拟信号Ts的抽样。模拟滤波器的冲激响应ha(t)的频谱Ha()(即前面的Ha(jΩ))就是模拟滤波器的频率响应。如果对ha(t)抽样，则由(6.70)式可知，有：(6.71)nsanTjnsasnHnThTes)()(令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的频谱，也就是以h(n)为冲激响应的数字滤波器的频率响应，于是由(6.71)式可得：(6.72）nsanTjnTjnHnhHeess)()()(图6.13模拟滤波器频率响应的周期延拓因此，用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率响应是原来的模拟滤波器的频率响应的周期延拓。由图6.13可以看出，如果被限制在-与之间，则在此区间内与完全一致。)()(jTjeHeHsHa()Ha()Ha()s2s2)(sTjeH相反，如果不被足够地限带，则将产生混叠失真。采用冲激响应不变法得到的数字滤波器的频率响应都会有程度不同的混叠失真，而且，这种方法不能用于高通滤波器和带阻滤波器等需要保留高频成分的变换，这是冲激响应不变法的一大缺点。Ha())(sTjeH6.4.3z平面与s平面的映射关系对照(6.63)式和(6.66)式可知，s平面的极点sk与z平面的极点互相映射。将极点的映射关系推广，可以得到冲激响应不变法模拟s平面与数字z平面的映射关系，即：(6.73)skTskezssTez令z=rejω，s=+j，代入上式，得：，故有：（6.74）=Ts(6.