向量的数量积和向量积

第三节向量的数量积和向量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积一、两向量的数量积1定义两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量a与b的数量积，记作a·b,即),cos(||||bababa数量积也称点积。力学意义：一物体在力F的作用下，沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为α,如右图，则力对物体做的功为cos||||SFWBSAθF2性质：（1）a·a=|a|21,1,1kkjjii0baba（2）0,0,0ikkjji（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有||||cosbaba3运算律（1）交换律abba（2）分配律cbcacba)(（3）结合律)()()(bababa其中λ为常数。4数量积的计算公式设向量kzjyixbkzjyixa222111,则有212121zzyyxxba证明：)()(222111kzjyixkzjyixbakizxjiyxiixx212121kjzyjjyyijxy212121kkzzjkyzikxz212121212121zzyyxx则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为222222212121212121||||coszyxzyxzzyyxxbaba此时，对于非零向量a，b，有212121zzyyxxba5向量在轴上的投影设A为空间一点，u轴已知，如图。Au过点A作与轴垂直的平面，平面与轴的交点A‘称为A在轴上的投影。A'对于已知向量，ABu轴上的有向线段的模称为向量在轴uBAAB上的投影，它是一个数量，记作ABjPruBB'cos|AB|ABjPru那么θ为向量与轴u的夹角。AB用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向上的投影，那么有cos|a|cos|e||a|ea例1已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求：（1）a·b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影。解：（1）2(-4))2(111ba9（2）|b||a|ba)b,acos(212)2(1)4(119222222所以43)b,a(（3）因为ajPr|b|)b,acos(|b||a|bab所以339|b|baABjPru例2求证余弦定理cosab2bac222θ为边CA，CB的夹角。证明：如图所示的△ABC，令,c|AB|,b|CA|,a|CB|ABCθ可得CACBAB那么所以cosab2bac222证毕)CACB()CACB()CACB(AB22CACB2CACB22二、两向量的向量积1定义设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：（1）|c|=|a||b|sinθ，θ为向量a和b的夹角；（2）bc,ac，且向量a，b，c的方向满足右手定则，如图；那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即C=a×b向量积又称为叉积。★向量积模的几何意义是：以a，b为邻边的平行四边形的面积。abcθO为一根杠杆L的支点，LOPF有一个力F作用于其上点P处，F与的夹角为θ，OPθ由力学规定，力F对支点O的力矩是一个向量M，Q它的模sin|F||OP||F||OQ||M|而M的方向垂直于与F所决定的平面，OPM的指向是OP是按右手规则从以不超过π的角的转向F来确定，因而实际上FOPMFOPM★力学意义：力矩，如下图所示。2两向量积的性质（1）a×a=o；okkjjii（2）obab||a（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则|b||a||ba|sin3两向量的向量积的运算律（1）a×b=-b×a；（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b（λ为常数）（3）（a+b）×c=a×c+b×c4两向量的向量积的坐标表示设向量kzjyixbkzjyixa222111,则有222111zyxzyxkjiba此时，对于非零向量a，b，有212121zzyyxxb//a约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。例3设向量.ba,k3ji2b,kj2i3a求解：k7j11i5312123kjiba例4设向量kj31ic,kib,kj3i2a问a×b与c是否平行？解：k3ji3101132kjiba显然故a×b//c.例5问向量k-j-ick,-jbk,3j-2ia=+=++=是否共面？解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？）由于k2j2i4110132kjiba所以，)kji()k2j2i4(c)ba(=4-2-2=0因而a，b，c共面。例6求以点A（1，2，3），B（3，4，5）和C（-1，-2，7）为顶点的三角形的面积S。解：根据向量积模的几何意义可知，所求三角形的面积等于|ACAB|21)AC,ABsin(|AC||AB|21SABC而k4j4i2OAOCAC,k2j2i2OAOBAB故k4j12i16442422kjiACAB所以262)4()12(1621|ACAB|21S222ABC