第一章行列式

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1第一章行列式一、教学目的:掌握行列式的概念;熟练掌握行列式的性质及计算方法;利用克莱姆法则解线性方程组。二、学时分配:三、重点、难点:熟练运用行列式的性质,掌握行列式计算的方法四、作业:§1n阶行列式定义:一阶行列式就是元素自身,1111||aa,当n1时规定n阶行列式为:njijijnnnnnnAaaaaaaaaaa1212222111211j=1,2,…,n;或niijijnnnnnnAaaaaaaaaaa1212222111211j=1,2,…,n;其中ijjiijMA)1(称为元素ija的代数余子式;ijM是从n阶行列式中划去ija的所在的行和列得到的n-1阶行列式,称为元素ija的余子式。按此定义计算行列式的方法通常称为拉普拉斯(laplace)展开法,可以简述为:n阶行列式等于任一行(列)元素与其代数余子式乘积之和。例1计算对角形行列式2naaa21和naaa21其中未写出的数都是零。解:依行列式的定义,按第一行依次展开,;)1(213211121nnnaaaaaaaaaannnaaaaaaa321121)1(nnnaaa213)1()1(nnnaaa212/)3()1(nnnaaa212/)1()1(类似地,三角行列式有相同的结果nnnnnnaaaaaaaaa22112122211111,212)1(1,121,21)1(nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa3例2计算2n阶行列式abababbababaDn2解:按第1行展开,得0000)1(0000212bababbababaababbabaaDnn)1(222)1(22)1(22)(nnnDbaDbDa以此作为递推公式,得nnnnbaDbaDbaD)()()(222122)2(22222例3证明nnnnmmmmnnnnmnnmmmmmbbbbaaaabbcabbccaaaa111111111111111111110000证:令nnnnmmmmbbbbDaaaaD1111211111把D1中元素ija的余子式记作ijM,对D1的阶数m用数学归纳法。4当m=1时,左端依第一行展开,得nnnnnnnnnbbbbabbcbbca11111111111111100假设要证式当m=k-1时已经成立,现在证m=k的情形,按第一行展开,有nnnnknnkkkkkkKnnnnknnkkkkknnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaabbccbbccaaaaabbccbbccaaaaD111111111111122111121111122222111111111111110000)1(00000000依据归纳法假设上式右端变为2111121111111)1()1(DMaDMaDkkk211111111111])1()1([DMaMakkknnnnkkkkbbbbaaaaDD1111111121于是证明了对m=k情形仍然成立。由数学归纳法,结论成立,证毕。定理:由定义按不同行、列展开计算n阶行列式所得的结果是唯一确定的。证明略。5§2行列式的性质设行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111D叫做行列式D的转置行列式。性质1:行列式与它的转置行列式相等。证:使用数用归纳法,对于二阶行列式性质1显然成立,假设对于n-1阶行列式性质1成立,把n阶行列式D按第一行展开,依据归纳法假设可得njjjjnjjjjDMaMaD11111111)1()1(右端恰为D按第一列的展开式。性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号。证:先证明邻行互换时行列式变号,设D1是由n阶行列式D的第i行与第i+1行互换得到的行列式。行行1,1,,11,1,11,11iiaaaaaaDniiniinii把D1按第i+1行展开njijijjnjijijjiDMaMaD11111)1()1(设D2是由n阶行列式D的第i行与第j行互换得到的行列式,不妨设ij,于是D2可看成D的第i行依次经过j-i个邻行互换后到第j行位置,而原第j行又依次经过j-i-1邻行互换后到第i行位置,因此DDDijij)1()(2)1(推论:如果行列式有两行(列)完全相同,那么此行列式为零。性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数K,等于用数6K乘此行列式。推论:行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。性质5:若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和。nnnininiinaaaaaaaaD111111那么D等于下列两个行列式之和nnnininnnnininaaaaaaaaaaaaD1111111111证:只须把D按第i行展开即可得证性质6:把行列式的某一行(列)各元素乘以同一数后加到另一行(列)对应元素上去,行列式的值不变,即ji时nnnininnnnjninjinaaaaaaaakaakaaaa11111111111性质7:行列式任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即)(02211jiAaAaAajninjiji或)(02211jiAaAaAanjnijiji证明:不妨设ij,考虑辅助行列式7行第行第jiaaaaaaaaaaaaDnnnniniiiniin212121112111D1是用D中第i行替换第j行得到的行列式,因D1的第i行与第j行相同,故D1=0,把D1按第j行展开,有jninjijiAaAaAaD22111所以:jiAAAaAajninjiji,02211如引用符号(kronecker);,0;,1jijiij综合行列式的定义和性质7,有关代数余子式的重要性质可写成统一的形式。jijiDDAaijnkkjki,0,1或jijiDDAaijnkjkik,0,1例1计算四阶行列式3351110243152113D解:D的第3行已经有一个零,把第4列的2倍加到第1列,又把第3列加到第4列,然后按照第3行展开,得84055260551113117)1(0355010013113111733D例2:计算3111131111311113D解:4826200102010021000163111131111311111631161316113611163D例3:计算111222cbcacbcbabacaba解:111111111222222222222222cbacbacbaccbacbbacbaaabccbcacbcbabacaba11111)1(11111222222222222222222222222cbcbcbcbacbcbacbcbacbcba11000101)1(22222222cbacbcba9例4:计算yyxxD1111111111111111解:由性质5:yyxxyyxD1110111011101111111111111111111yyxxyyx1111111110000000001111yyxyyxxy111111111111122222222yxyxxyxy例5:证明范德蒙(A,T.Vandermonde)行列式111312112232221321)(1111jinjinnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxD证:用数学归纳法,因为121221)(11jijixxxxxx所以当n=2时命题成立,现在假设对n-1阶范德蒙行列式命题成立,证明对n阶范德蒙行列式命题也成立,为此设法把Dn化为n-1阶行列式,首先从第n行开始依次减去前一行的x1倍,有10)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn按节1列展开,再把每列的公因子提到外面223223211312111)())((nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD上式右端行列式是n-1阶范德蒙行列式,按归纳法假设,它应该等于所有jixx的乘积,其中n≥ij≥2,因此2111312)()()())((jinjinjijinnxxxxxxxxxxD证毕。§3克莱姆法则称nnnnnnaaaaaaaaa212222111211为含有n个未知数、n个方程的线性方程组。nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)的系数行列式如果(1)有解,即有一组数x1,x2.…,xn满足(1),由行列式的性质有11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaxaxaxaaaxaxaxaaaxaxaxaxaaaaaaaaaDx2221122222221211121212111121222211121111222221121Daabaabaabnnnnnn一般有jjDDxj=1,2,…,n这里Dj是D中第j列njjjaaa,,,21换成(1)的常数列b1,b2,…,bn得到的行列式,当D≠0时,有DDxDDxnn,,11(2)证明了:线性方程组(1)当D≠0时,如果有解,那么解必唯一,现在来验证(2)确是线性方程组(1)的解,即要证明:ininiibDDaDDaDDa2211i=1,2,…,n即DbDaDaDaininii2211i=1,2,…,n引进两行相同的n+1阶行列式(辅助)nnnnniniiaabaabaab111111,i=1,2,…,n按第1行展开,因为第1行第j+1列元素ija的代数余子式是nnjnjnnnnjjjaaaabaaaab1,1,111,11,111111)1(又因为这n+1阶行列式是零,所以有011niniiDaDaDb,i=1,2,…,n这说明(2)确是线性方程组(1)的解。12克莱姆(G.Cramer)法则:n个未知数n个方程的线性方程组(1),如果它的系数行列式D≠0,那么它有唯一解。DDxDDxnn,,11式中Dj是把D的第j列元素njjjaaa,,,21分别换成常数列b1,b2,…,bn得到的行列式。特点地,当(1)右端各常数项都是零时,得到的齐次线性方程组。00111111nnnnnnxaxaxaxa(3)显然021nxxx是它的解,由克莱姆法则得到。推论:若n个未知数n个方程的齐次线性方程组(3)的系数行列式D≠0,那么它只有零

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