直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系（1）直线与椭圆的位置关系•围绕直线与椭圆的公共点展开的，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，•当Δ＝0时，直线与椭圆相切；•当Δ＞0时，直线与椭圆相交；•当Δ＜0时，直线与椭圆相离。ex1.判断直线y=x+1与椭圆的位置关系？22416xy2、y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）A、（0，1）B、（0，5）C、[1，5）∪（5，+∞）D、（1，+∞）1522myxC一、直线与椭圆的位置关系的判断)20(16201616)16(2042222mmmm直线与椭圆相交时,52m52即0时,当Δ直线与椭圆相切时,52即m0时,当Δ22416xy例１：当m取何值时直线y=x+m与椭圆相交，相切，相离？解：将y=x+m代入整理得5x2+2mx+m2-16=0时，直线与椭圆相离或时，即当52520mm分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线m及椭圆,观察图形,数形结合思考.例2.已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?lmm.Poxy450mllxyk解：设直线平行于，则可写成：例2.已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?lm.Pm分析：思考：的最值求上点已知椭圆yxyxPyx2),,(12221、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件：小结:当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。思考：如何判断点和椭圆的位置关系？（2）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。作业：1、已知椭圆1422yxmxyl:（1）当m为何值时，直线与椭圆相交、相切、相离？mxyl:221164xy220xy2.求椭圆上的点到直线的最大距离直线与椭圆的位置关系（2）弦长公式:|AB|=通法A（x1,y1）B（x2,y2）221221221221)()()()(xxkxxyyxx21221222124)()1())(1(xxxxkxxkbkxy设A（x1,y1）B（x2,y2）直线的方程：l因A（x1,y1），B（x2,y2）在直线上lbkxy22bkxy11)()()(212121xxkbkxbkxyy设而不求二、弦长问题2121xxk21211yyk2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y014x5x2∆0因为所以，方程（１）有两个根，练习1.已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系？若相交，求所得的弦长是多少,交点坐标?则原方程组有两组解….-----(1)2.过椭圆的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点，求弦长|AB|2211312xy通径abbabyax222222)0(1的通径长为：椭圆例1:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1FAB△的面积.例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.三、中点弦问题-2-424xyM(2,1)0法1：联立直线与椭圆，利用韦达定理建立k的方程法2：点差法（将两个点代入椭圆再相减）直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．2211,11642xyyxABAB例1.椭圆设直线与椭圆交于、两点，求线段的中点坐标。练.点？请说明理由。为直径的圆过的值，使以两点，问：是否存在椭圆交于与若直线）已知定点（）求椭圆的方程（。的直线与原点的距离为，过点的离心率已知椭圆例ECDkCDkkxyEaBbAebabyax)0(2),0,1(2123)0,(),0(,36)0(1.32222ex:中心在原点,一个焦点为的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程．23xy21)25,0(F直线与椭圆的位置关系（3）.8,,112,.1212221eABFFABkykxFFex，求的周长是，若过点弦右焦点的左是椭圆已知ePBAPPyABxBFBAFbabyaxex求若轴于点交轴，直线在椭圆上，且点右顶点为的左焦点为已知椭圆,2,,,)0(1.222222121范围。的总在椭圆的内部，求的点足是椭圆的两个焦点，满，已知eMMFMFFFex0..32121)22,0(的范围。，求，使得果在椭圆上存在一点是它的左，右焦点，如分别，已知椭圆eMFFyxMFFbabyaxex3),(),0(1.42100212222)1,21[5.以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率_________31xyoF1F2M变式.设M点是椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果∠MF1F2=600，∠MF2F1=300,求此椭圆的离心率22221xyab12(3,0),(3,0)FF90xy例.已知椭圆的焦点，且和直线有公共点,求其中长轴最短的椭圆方程例4、如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。221axby22,AB22oxyABM22110axbyxy解:2)210yabxbxb消得:(2)(1)0babb=4-4(abab1122(,),(,)AxyBxy设121221,bbxxxxabab(,)baABMabab中点2212121()4ABkxxxx又MOakb222ba221222()4bbabab12,33ab思考:试确定实数m的取值范围,使得椭圆22143xy上存在关于直线2yxm对称的点.122yxbyxm分析：存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线上。12AByxb则两点的直线可设为：:2,yxmAB解假设椭圆上存在关于直线对称的两点1122(,),(,)AxyBxy设两对称点121213()222yyxxbb3,)224bbAByxm中点(在直线上3242bbm4bm242m1122m2212143yxbxy由22:30yxbxb消得2224(3)3120bbb22b12xxb的方程，求直线且满足交于点与椭圆的直线已知过点lOBOABAyxl,,12)2,0(.1222.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.3:已知椭圆与直线相交于两点，是的中点．若，斜率为（Ｏ为原点），求椭圆方程．122nymx1yx22ABABcABoc22