函数的单调性定义

1.3.1单调性与最大（小）值第一课时函数单调性的概念问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123画出下列函数的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降____?2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升1、在区间____上，f(x)的值随着x的增大而______．2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而_____．f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：图象在y轴右侧”上升“x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916….0)()()()(,)(,02212122221121增函数上是，在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到上任取两个，在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx思考：如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)则称函数f(x)在区间D上是增函数.考察下列两个函数:xyoxoy二者有何共同特征？f(x)=-xf(x)=x2(x0)思考：如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”？对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)则称函数f(x)在区间D上是减函数.xyox1x2()yfxf(x1)f(x2)y=f(x)一、函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．2．减函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.二．函数的单调性定义（1）对于某函数，若在区间(0，+∞)上，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝3，能否说在该区间上y随x的增大而增大呢?问题：xy21013思考（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞)上，y随x的增大而增大呢？xy10342（3）若有n个正数x1x2x3······xn，它们的函数值满足:y1y2y3······yn．能否就说在区间(0，+∞)上y随着x的增大，而增大呢？若x取无数个呢?xyx10x2x3xny1y2y3yn思考:一般地，若函数在区间A、B上是单调函数，那么在区间上是单调函数吗？)(xf)(xfAB注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)分别是增函数和减函数.yoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数ab2--，,2ab在增函数在减函数ab2--，,2ab在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp)()(12VpVp即证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)且V1V2，得V1V20,V2-V10又k0,于是0)()(21VpVp所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论三．判断函数单调性的方法步骤1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：归纳小结:函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论作业:习题1.3A组1、2题