函数的单调性教学设计全国优质课比赛案例

单调性与最大（小）值（第一课时）2006全国优质课比赛教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章一、对“函数的单调性”的设计构思1.教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法、依据。2.教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标。重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。对于函数单调性，学生的认知困难主要存在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的“翻译”，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点。3.教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导、学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。本节课使用了多媒体和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。4.教学过程的设计为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施:（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入。（2）在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。（3）考虑到本校（北京景山学校）学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。函数单调性教材分析教学目标重点难点教学过程教法学法二、“函数单调性”的教学设计1.1教材的地位和作用函数的单调性函数概念的延续和拓展培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材对研究其他函数性质起启发和示范作用，是学习研究其它数学知识的重要基础1.教材分析1.2学情分析学生的认知困难由形到数的翻译,从直观到抽象的转变.在函数学习中首次接触到代数论证.1.教材分析1.3教学的重点和难点理解函数单调性的概念;初步掌握判断、证明函数单调性的步骤函数单调性概念的理解;1.教材分析2.教学目标1、理解函数单调性的概念2、初步掌握判断、证明函数单调性的步骤3、了解函数单调区间的概念通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、勇于探索、严谨论证的良好思维习惯1、通过对函数单调性定义的探究，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程2、通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力3、渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力知识与技能过程与方法情感态度与价值观3.教法学法3.1教学方法多媒体教学3.2教学手段讲练结合探究式教学自主探究合作交流3.3学习方法函数的单调性创设情境，引入课题探究新知，构建概念例题分析，巩固练习归纳小结，布置作业板书设计4.教学设计（一）创设情境、引入课题(3min)设计意图1、下图是气象台预测北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图,观察图形,你能得到什么信息?2425262728293031323304812162024)(CTt教学过程（一）创设情境、引入课题(5min)设计意图引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．由生活情境引入新课，从而拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性。教学过程2．近十几年来，南极上空臭氧层空洞的面积从1979~2001年的变化。（二）探究新知，构建概念(23min)借助图象直观感知抽象思维形成概念教学过程1、借助图象，直观感知设计意图数值有什么变化规律？时，函并且观察当自变量变化的图象，和：分别作出函数问题xyxyxyxy1,2,212教学过程1、借助图象，直观感知教学过程xyO112-1-2234xyO112-1-2234xyO112-1-2234xyO112-1-223-1-2设计意图①从学生熟悉的函数图象出发，渗透数形结合思想，引导学生直观感知函数的单调性②激发学生学习兴趣和热情③培养学生观察，猜想，归纳的能力④形成自主探究，独立思考的思维品质设计意图①引导学生进行分类描述(增函数、减函数),同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.②从图象的角度对函数单调性的直观、描述性的认识．完成对函数单调性的第一次认识。问题2：能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?教学过程1、借助图象，直观感知2、抽象思维，形成概念设计意图①学生难以确定分界点的确切位置。②通过讨论，使学生感受到用图象判断函数单调性比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。问题3：下图是函数的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数或减函数吗？教学过程2(0)yxxx设计意图①对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任取两个自变量。②把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度，完成对概念的第二次认识。③事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫教学过程2、抽象思维，形成概念24[0)?yx问题：如何从解析式的角度说明函数在，上是增函数预案：（1）在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22＜32，所以在上为增函数。（2）取多组数值验证均满足，所以在上为增函数。（3）任取则在上为增函数。2()fxx[0,)2()fxx[0,)221212120xxxxxx因为（）（）〈12xx且〈，12,[0,),xx2()fxx[0,)2、抽象思维，形成概念设计意图①引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义②使学生经历从具体到抽象,从特殊到一般的认知过程③培养学生归纳概括能力问题5：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?,教学过程2、抽象思维，形成概念设计意图强调关键教学过程如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2；当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。Oxy)x(fy)x(f11x)x(f22x2、抽象思维，形成概念设计意图强调关键,教学过程如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、x2；当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。)x(f1)x(f2)x(fyOxy1x2x教学过程判断题：①强调单调性是函数的局部性质，加深对单调区间的认识：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。②函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数。设计意图2、抽象思维、形成概念教学过程.),0()0,(1)(),0()0,(1)(f上是减函数在上都是减函数，所以和在若函数xxfxx判断题：.]32[)(),3()2()(上是增函数，在则函数满足若函数xfffxf.31)(32]21)(）上是增函数，在（数）上均是增函数，则函，和（，在（若函数xfxf2）4）3）2、抽象思维、形成概念1）1()(1)(2),().fxfffxx已知，因为则是增函数（三）例题分析、深化概念（12min）设计意图①强化学生应用数形结合的思想解题的意识，进一步加深对概念的理解②明确单调性是函数的局部性质③加深对单调区间的认识例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数，根据图像写出函数的单调区间，以及在每个单调区间上，它是增函数还是减函数？教学过程-212345-23-3-4-5-1-112xyO（三）例题分析、深化概念(15min)设计意图初步掌握运用定义进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性训练，引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论例2、证明函数在上是增函数。教学过程2fxxx（）2（，）（三）例题分析、深化概念(15min)设计意图再次运用函数单调性定义进行论证，解决实际应用问题，并强化证题的规范性训练。例3、物理学中的玻意耳定理P=K/V（K为正常数）告诉我们对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大，试用函数的单调性证明之。教学过程教学过程（四）归纳小结、布置作业(5min)设计意图小结：1.定义：2.注意点：3.证明步骤：通过小结突出重点，让学生对所学知识结构有一个清晰的认识教学过程通过两方面的作业，满足学生多样化的学习需要（四）归纳小结、布置作业(5min)作业：必做题：P43习题1.3A组1，2选做题：P43习题1.3A组3数学日记：谈谈你本节课中的收获或者困惑，整理你认为本节课中的最重要的知识和方法设计意图教学过程（五）板书设计投影区1.3.1单调性与最大（小）值1、增函数：减函数：2、注意：3、证明步骤：问题（例）问题（例）