函数的奇偶性

书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少壮不努力，老大徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：它关于什么对称？xy0观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.f(x)＝x2与f(x)＝|x|的图象关于y轴对称；偶函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=f(x)②图象特征:关于y轴对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).1.偶函数的概念一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．例如，函数都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(,1)(22xxfxxf观察函数f(x)=x和f(x)=的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？1xx－3－2－10123f(x)＝xf(x)＝1xx－3－2－10123f(x)＝xf(x)＝1x－13－121312－3－2－10123－11实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(x)＝x与f(x)＝1x的图象关于原点对称．奇函数的特征:①解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)②图象特征:关于原点对称.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction).2.奇函数的概念如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.注意：1、函数的奇偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即函数的定义域关于原点对称）；3、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)成立.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。例1、判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf(5)f(x)=x2，x∈[-1,3]ox-13y练习：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝0.[精解详析](1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是R，关于原点对称．f(－x)＝0＝f(x)；f(－x)＝0＝－f(x)．综上可知，f(x)为既是奇函数又是偶函数．根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数.[一点通]判断函数奇偶性的方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于f(x)或-f(x)，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．１、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。3.奇偶函数图象的性质注：奇偶函数图象的性质可用于：①.判断函数的奇偶性。②.简化函数图象的画法。③.求函数的解析式④.判断函数的单调性例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数.一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.2.两个性质:3.判断函数奇偶性的步骤：①考查函数定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)是否成立；③作出结论.课堂小结