2015年高考数学(文)一轮课件：5-6正弦定理和余弦定理

第五章三角函数、三角恒等变换、解三角形考题调研成功体验教材回归自主学习第六节正弦定理和余弦定理核心考点引领通关开卷速查规范特训【考点分析】(1)考查正弦定理、余弦定理的推导；(2)利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；(3)在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．【复习指导】(1)理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；(2)通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换和三角函数性质相结合．必考必记夯基固本教材回归自主学习1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容□1____________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝□2______________；b2＝□3______________；c2＝□4______________.变形形式①a＝□5______________，b＝□6______________，c＝□7______________.cosA＝□12_________；变形形式②sinA＝□8____________，sinB＝□9____________，sinC＝□10____________.③a∶b∶c＝□11________.cosB＝□13__________；cosC＝□14__________.2.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况3.三角形常用的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．(4)设p＝12(a＋b＋c)，则S＝pp－ap－bp－c.答案：●一条规律在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.●一点注意已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角．可能有一解、两解、无解．●两种途径判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32解析：由正弦定理得：BCsinA＝ACsinB，即32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝3232×22＝23.答案：B2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°A180°，∴A＝60°.答案：C3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°，∴sinB＝223.又∵ab，∴B有两个．答案：B4．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝__________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b＝2.答案：25．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为__________．解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.因此S△ABC＝12AB×BC×sinB＝12×3×5×32＝1534.答案：1534考点研析变式通关核心考点引领通关考点一利用正弦定理解三角形【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求A，C和边c.思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32.∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.答案：A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.点评：①已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可；②已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．通关训练1已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为__________．解析：∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝π3.由正弦定理知：sinA＝asinBb＝12，又ab，∴AB，∴A＝π6.答案：π6考点二利用余弦定理解三角形【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．思维启迪：由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解析：(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.答案：(1)2π3；(2)334.点评：①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．通关训练2已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解析：(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bcsinA＝3.答案：(1)2π3；(2)3.考点三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.解析：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.∵B＝π－A－C，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，∴3sinA－cosA－1＝0，即sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.答案：(1)π3；(2)b＝c＝2.点评：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．通关训练3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解析：(1)由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，由于0＜B，C＜34π，从而B－C＝π2.(2)B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝12.答案：(1)证明略；(2)12.答题模板系列(02)高考中的解三角形问题【示例】(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．思维启迪：根据三角形内角和定理可直接求得B；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解．规范解答：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cosB＝12.(4分)(2)方法一：由已知b2＝ac，及cosB＝12，根据正弦定理得sin2B＝sinAsinC，(8分)所以sinAsinC＝1－cos2B＝34.(12分)方法二：由已知b2＝ac，及cosB＝12，根据余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12，解得a＝c，(8分)所以A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝34.(12分)答题模板设计：解三角形问题一般可用以下几步解答：第一步：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步：三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化第三步：代入求值第四步：反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确温馨提醒：1在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断.2在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.请做：word部分：考题调研成功体验点此进入该word板块请做：word部分：开卷速查规范特训点此进入该word板块