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-1-数刘（7）1、已知定义域为（O,)的函数满足：①对任意，恒有②当.记区间，其中，当时.的取值构成区间，定义区间(a,b)的区间长度为b-a，设区间在区间上的补集的区间长度为，则a1=____________=____________2、已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则3、已知等差数列的前n项和为，若，，则4、设数列是公差不为零的等差数列，前项和为，满足，则使得为数列中的项的所有正整数的值为5、已知等差数列的前项和为，若且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则。6、数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：有如下运算和结论：①②数列是等比数列；③数列前n项和为④若存在正整数，使则.其中正确的结论有▲.(请填上所有正确结论的序号)7、已知等比数列{an}，首项为2，公比为3，则＝_________(n∈N*)．8、有以下四个命题：①中，“”是“”的充要条件；-2-②若数列为等比数列，且；③不等式的解集为；④若P是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且其中真命题的序号为_____________．（把正确的序号都填上）9、数列满足，则的整数部分是▲。10、数列中,,成等差数列;成等比数列；的倒数成等差数列．则①成等差数列;②成等比数列;③的倒数成等差数列;④的倒数成等比数列．则其中正确的结论是．11、已知数列满足：，我们把使a1·a2·…·ak为整数的数k（）叫做数列的理想数，给出下列关于数列的几个结论：①数列的最小理想数是2；②数列的理想数k的形式可以表示为；③在区间(1,1000)内数列的所有理想数之和为1004；④对任意，有＞。其中正确结论的序号为。12、已知数列中，，前项和为，并且对于任意的且，总成等差数列，则的通项公式13、设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：①若既是等差数列又是等比数列，则；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是。14、设函数，，数列满足，则数列的通项等于________-3-15、设，，，，则数列的通项公式=．16、已知数列的前项和是，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求适合方程的正整数的值．17、已知为锐角，且，函数，数列的首项，.（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和．18、已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记,求证：.19、已知不等式++…+[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列{an}的各项为正，且满足a1=b(b0),an≤,n=2,3,4,….(Ⅰ)证明：an≤，n=2,3,4,5,…;(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0,都有an.20、已知数列的首项为，且为公差是1的等差数列。（1）求数列的通项公式；（2）当时，求数列的前项和。21、已知数列的前n项和为，且是与2的等差中项，而数列的首项为1，．(1)求和的值；(2)求数列，的通项和；(3)设，求数列的前n项和。22、已知数列满足：，且（I）求数列的前7项和；-4-（Ⅱ）设数列中：，求数列的前20项和．23、等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且，。（1）求与的通项公式（2）求24、已知数列{an}是首项为-1，公差d0的等差数列，且它的第2、3、6项依次构成等比数列{bn}的前3项。(1)求{an}的通项公式；(2)若Cn=an·bn，求数列{Cn}的前n项和Sn。25、已知数列的前项和满足，（1）求数列的前三项（2）设，求证：数列为等比数列，并指出的通项公式。26、在数列中，前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列前n项和为，求的取值范围．27、已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列{bn}的前n项和．28、已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知，求数列{bn}的前n项和．29、有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．（1）证明（，是的多项式），并求的值；（2）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．-5-（3）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式成立的所有的值．30、已知数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式（2）令，求数列前n项和31、在数列{an}（n∈N*）中，已知a1＝1，a2k＝－ak，a2k－1＝(－1)k+1ak，k∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn.（1）求S5，S7的值；（2）求证：对任意n∈N*，Sn≥0.32、设非常数数列{an}满足an+2＝，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α＋β≠0.（1）证明：数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝，a1＝1，a2＝，求证：数列{|an＋1－an－1|}(n∈N*，n≥2)与数列{n＋}(n∈N*)中没有相同数值的项.33、已知数列满足（)，其中为数列的前n项和．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若数列满足：()，求的前n项和公式.34、已知数列是等差数列，且.（1）求数列的通项公式;（2）令，求数列前n项和.35、已知{}是一个公差大于0的等差数列，且满足（Ⅰ）求数列{}的通项公式：（Ⅱ）若数列{}和等比数列{}满足等式：（n为正整数）求数列{}的前n项和3637、设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式。（2）求数列的前n项和.-6-38、已知正数数列的前项和为，满足。（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出通项公式；（Ⅱ）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围。39、已知等差数列满足：．（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）若等比数列的前项和为，且，求．40、已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求使恒成立的实数的取值范围．1、；2、.3、;4、25、6、①③④7、8、①④9、10、;(理)2,411、①③12、13、①②③14、15、16、（1）当时，，由，得当时，∵，，∴，即∴∴是以为首项，为公比的等比数列．故-7-（2），解方程，得17、（1）由，是锐角，（2），,（常数）是首项为,公比的等比数列,，∴-8-18、19、（Ⅰ）证法1：∵当n≥2时，0an≤∴,于是有-9-20、-10-21、22、解：（1）（2）23、①设{an}公差为d，{bn}公比为q②Sn=3+5+……+(2n+1)=n(n+2)-11-24、25、解：⑴在Sn=2an+(-1)n中分别令n=1，2，3得（2分）解得（4分）⑵由Sn=2an+(-1)n，n≥1得Sn-1=2an-1+(-1)n-1，n≥2两式想减得an=2aa-2an-1+2(-1)n,即an=2an-1-2(-1)n（6分）∴an+(-1)n=2an-1+(-1)n-2(-1)n=2an-1+(-1)n-1=2[an-1+(-1)n-1](n≥2)（9分）即bn=2bn-1(n≥2),b1=a1-=∴{bn}是首项为，公比为2的等比数列.（10分）∴bn=×2n-1=an+(-1)nan=×2n-1-(-1)n(12分)26、解析：（Ⅰ）当时，；当时，，经验证，满足上式．故数列的通项公式．（Ⅱ）可知，则，两式相减，得，所以．由于，则单调递增，故，又，故的取值范围是．-12-27、．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知a1=，又∵S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，∴2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴q=+q2，解得q=1或q=，又由{an}为递减数列，于是q=，∴an=a1=()n．（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n∙()n，∴，于是，两式相减得：整理得．28、．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知a1=，又∵S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，∴2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，∴q=+q2，解得q=1或q=，又由{an}为递减数列，于是q=，∴an=a1=()n．（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n∙()n，∴，-13-于是，两式相减得：整理得．29、解：（1）由题意知．，同理，，，…，．又因为成等差数列，所以.故，即是公差为的等差数列．所以，．令，则，此时．（3）由（2）得，.故不等式就是．考虑函数．-14-当时，都有，即．而，注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立．所以,满足条件的所有正整数．30、解：（1）由已知（2）31、故有故可知S5＝3，S7＝1.2分-15--16-32、从而有n≥2时，，.33、解：(Ⅰ)∵Sn＝1－an，①∴Sn＋1＝1－an＋1，②-②－①得，an＋1＝－an＋1＋an，∴an＋1＝an(n∈N＋)．--17-又n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝.∴an＝·n－1＝n，n∈N＋.-(2)∵bn＝＝n·2n(n∈N＋)，-∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.④-③－④得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，整理得，Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N＋.--34、解：（1）由已知（2）35、（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则依题设d0由，得①由得②由①得将其代入②得，即-（Ⅱ）-36、（2）-18-37、解：（1）对于任意的正整数都成立，两式相减，得∴，即，即对一切正整数都成立。∴数列是等比数列。由已知得即∴首项，公比，。。38、解：（Ⅰ）当时，当时，两式相减得为正数数列又由得所以，当时，有所以，数列是以1为首项，公差为1的等差数列。（Ⅱ）法一：所以-19-所以对任意恒成立即的取值范围为法二：令，则当时，即时，在上为减函数，且当时，即时，不符合题意综上，的取值范围为39、（Ⅰ）设等差数列的公差为,由题设得:，即，解得．，．（Ⅱ）设等比数列的公比为,由（Ⅰ）和题设得:,．，．数列是以为首项,公比的等比数列.．40、解：（I）由可得，∵，∴，-20-∴，即，∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴．（Ⅱ）∴由对任意恒成立，即实数恒成立；设，，∴当时，数列单调递减，时，数列单调递增；又，∴数列最大项的值为∴