2015年高考数学全国卷I理

2015年全国卷I理科逐题述评1.设复数z满足1i1zz，则||z=（A）1（B）2（C）3（D）2解析：由1i1zz得1i(1)zz，即1i1iz，2(1i)(1i)(1i)i(1i)(1i)2z，||z=1，选（A）.点评：本题跳出往年考查复数除法的传统直白模式，套用方程思想，由考生自行推导出1i1iz，进而求出||z（从这方面来讲，简单题增加了考生的运算量）.形式简洁（甚至连“i是虚数单位”，“复数z的模”等说明性文字都未曾出现），增加了思维含量.当然，如果考生在平时的备考中，能拓展了解部分复数的模运算的性质，化简到1i1iz，就可以利用分子和分母的模相等迅速得到||z=1，不必将iz计算出来，正所谓“失之东隅，收之桑榆”，不难看出命题人在躲避各地题海战术方面的良苦用心.2.sin20cos10cos160sin10=（A）32（B）32（C）12（D）12解析：sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30，选（D）.点评：本题涉及三角函数的三个考点：诱导公式cos(180)cos、两角和与差公式sin()sincoscossin的逆用、特殊角的三角函数值.其中由cos160cos20得进一步做题思路十分关键.3.设命题p：nN，22nn，则p为（A）nN，22nn（B）nN，22nn（C）nN，22nn（D）nN，22nn解析：命题p含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n时），则其否定（p）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选（C）.点评：涉及含有量词的命题的否定（也可视为复合命题中p与p的关系）是近几年高考命题的热点，且常考常新.解答这类题，既可以套用命题的否定的套路（特称命题与全称命题的转换），也可以从命题真假性的角度加以判断.4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312解析：该同学通过测试的概率为223230.60.40.60.6(1.20.6)0.648C，或312310.40.40.60.648C，选（A）.点评：本题考查点集中在独立事件、互斥事件与对立事件，难度适中，突出了理科试题的特点.5.已知00(,)Mxy是双曲线C：2212xy上的一点，12,FF是C的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（A）33(,)33（B）33(,)66（C）2222(,)33（D）2323(,)33解析：从120MFMF入手考虑，120MFMF可得到以12FF为直径的圆与C的交点1234,,,MMMM（不妨设12,MM在左支上，34,MM在右支上），此时1112MFMF，111222MFMF，1223FF，112111201211||22MFFSMFMFyFF解得03||3y，则M在双曲线的12MM或34MM上运动，0y33(,)33，故选（A）.点评：本题借助向量的数量积这一重要工具，融合了双曲线的定义、性质，考查了构造思想和等体积转化.是对研究和利用过往高考试题正能量的引导和极好的传承.美中不足的是本题运算量比较大，思维含量高，考查点比较综合，如果能放到第10题的位置会更合理.这道高考题脱胎于15年前的2000年高考全国卷文理第14题：椭圆22194xy的焦点为12,FF，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，点P的横坐标的取值范围是.到下一年，直接演化为2001年高考全国卷文理第14题：双曲线221916xy的两个焦点为12,FF，点P在双曲线上，若12PFPF，则点P到x轴的的距离为.再过4年，在2005年高考全国卷（III）文理第9题：已知双曲线2212yx的焦点为12,FF，点M在双曲线上，且120MFMF，则点M到x轴的的距离为（A）43（B）53（C）233（D）36.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛解析：284R，圆锥底面半径16R，米堆体积21320123VRh，堆放的米约有221.62V，选（B）.点评：本题难度适中，取材于古代数学著述，一方面考查了简单几何体的体积，另一方面体现了数学估算等应用，更是弘扬和发掘了数学史和古代数学文化.7.设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则（A）1433ADABAC（B）1433ADABAC（C）4133ADABAC（D）4133ADABAC解析：11()33ADACCDACBCACACAB1433ABAC，选（A）.点评：本题知识方面考查平面向量的加减运算，能力方面通过用,ABAC表示AD考查化归思想的应用.另外本题也可以根据选项的特点把已知3BCCD转化为起点均为A，即3()ACABADAC，求出AD即可，考查学生灵活运用基础知识分析问题和解决问题的能力以及化归思想的应用.从难易度来看，此题放在第5题的位置最理想.8.函数()fx=cos()x的部分图象如图所示，则()fx的单调递减区间为（A）13(,),44kkkZ（B）13(2,2),44kkkZ（C）13(,),44kkkZ（D）13(2,2),44kkkZ解析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以()cos()4fxx，令22,4kxkkZ，解得124k＜x＜324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选（D）.点评：本题虽然考查余弦型函数的图象和性质，但可归结为正弦型函数的图象和性质，且一反常态图象的周期是2k，不是2k，解答既可由图象先求解析式，再根据解析式求解函数的单调递减区间，又可先求周期，借助图象的对称性得出34x是其中一条对称轴，数形结合直接写出图象的单调递减区间.既能考查学生对余弦函数图象和性质的真正理解，又能考查学生的观察能力、推理能力、运算求解的能力以及数形结合的思想.推陈出新的结果是得分不高.9.执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（A）5（B）6（C）7（D）8解析：0.01t保持不变，初始值11,0,0.52snm，执行第1次，0.5,0.25,1smn，st，执行循环体；执行第2次，0.25,0.125,2smn，st，执行循环体；执行第3次，0.125,0.0625,3smn，st，执行循环体；执行第4次，0.0625,0.03125,4smn，st，执行循环体；执行第5次，0.03125,0.015625,4smn，st，执行循环体；执行第6次，0.015625,0.0078125,5smn，st，执行循环体；执行第7次，0.0078125,0.00390625,6smn，st，跳出循环体，输出7n，故选（C）.点评：本题通过含循环结构的程序框图，考查学生的读图能力及运算求解能力.但题中的执行次数有点多，数据有些复杂，其实大可执行3或4次，数据再简单一些，效果会更好！10.25()xxy的展开式中，52xy的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60解析：在25()xxy的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故52xy的系数为21253230CCC.另解：5252()()xxyxxy，含2y的项223235()TCxxy，其中23()xx中含5x的项为141533CxxCx，所以52xy的系数为215330CC，故选（C）.点评：本题由以往常考的括号内的二项创新演变为三项，既能把三项转化为二项，利用二项展开式的通项公式求解，又能利用计数原理借助组合知识求解，同时考查化归思想的应用以及学生的运算求解以及变通能力.题目排序建议：T7→T5，T9→T6，T6→T7，T5→T10，T10→T8，T8→T9.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r（A）1（B）2（C）4（D）8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都r，圆柱的高为2r，其表面积为2222142225416202rrrrrrrr，解得2r，故选（B）.点评：本题考查空间几何体的三视图、圆柱和球的表面积，通过三视图到直观图的转化考查学生的空间想象能力与化归思想的应用，通过圆柱和球的表面积计算考查学生的运算求解能力.本题与2013年全国卷Ⅰ（理8，文11）非常相似.但由2013年的三个视图变成了2015年的两个视图，极好的考查了学生的观察能力和空间想象能力.（2013年全国卷Ⅰ（理8，文11））某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（A）168（B）88（C）1616（D）81612.设函数()fx=(21)xexaxa,其中1a，若存在唯一的整数0x，使得0()0fx，则a的取值范围是（A）3,12e（B）33,2e4（C）33,2e4（D）3,12e解析：设()gx=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0x，使得0()gx在直线yaxa的下方.因为()(21)xgxex，所以当12x时，()gx＜0，当12x时，()gx＞0，所以当12x时，min[()]gx=122e，当0x时，(0)1g，(1)30ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)1ag，且1(1)3geaa，解得32e≤a＜1，故选（D）.作为选择题，该题也可先找到满足0()0fx的整数0x，由0x的唯一性列不等式组求解.由(0)10fa得00x.又0x是唯一使()0fx的整数，所以(1)0(1)0ff，解得32ae，又1a，且34a时符合题意.故选（D）.点评：本题是函数与导数综合性较强的题目，是转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想的集中体现，考查学生解决综合性问题的能力.考查化归思想的应用及学生灵活解决选择题的能力.试题难度应进一步降低.13.若函数f(x)=xln（x+2ax）为偶函数，则a=解析：由函数f(x)=xln（x+2ax）为偶函数，则2()ln()gxxax为奇函数（(0)ln0ga）；由22ln()ln(())0xaxxax（()()0gxgx），得ln0a，1a，故填1.点评：本题主要考查函数利用函数的奇偶性求参数及对数的运算，明确奇函数和偶函数的性质是求解本题的关键，亦可采用特值法来快速求解答案，为部分思维活跃的考生提供展示舞台.14.一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)；（方法一）设圆的半径为r，则有222(4)2rr，可得52r，故所求圆的标准方程为22