24.2.2直线和圆的位置关系(第三课时)

第24章圆24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径切线的性质：1.切线和圆只有一个公共点。2.切线和圆心的距离等于半径。3.切线垂直于过切点的半径。4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点。5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心6.经过切点的直径与切线垂直(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线知二求一}复习与回顾证明切线常见辅助线：(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。过已知点作圆的切线1.如何过⊙O上一点P画出⊙O的切线探究新知画一画.P.O作法：（1）连结OP（2）过点P作l⊥OP则l就是所求作的直线l50°OPBA（1）如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？②.这样的切线能画出几条？①.借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线。③.如果∠P=50°,求∠AOB的度数130°2.过圆外一点作圆的切线O。ABP思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，∠OAP=90°,连接OP，可知A、B除了在⊙O上，还在怎样的圆上?（2）如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？作法：1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′，与⊙O交于A、B两点。即直线PA、PB为⊙O的切线。如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？··oo′pAB想一想为什么？经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线与切线长是一回事吗？·OPAB··它们有什么区别与联系呢？切线长的概念A思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?OBP12折一折切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。OPAB比一比切线和切线长请证明你所发现的结论证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论APOB证一证PA=PB∠OPA=∠OPB∵PA、PB分别切⊙O于A、B从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB切线长定理∴PA=PB∠OPA=∠OPB如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分AB·opABCD切线长定理推论：从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？⌒⌒进一步探究·opABCD切线长定理的几何模型中的重要关系（7）△OPA≌△OPB,△APC≌△BPC△ACO≌△BCO,△APD≌△BPD△ACD≌△BCD（1）PA=PB.∠APO=∠BPO（2）OA⊥PA,OB⊥PB（3）连接AB,则直线OP垂直平分AB⌒⌒（4）连接AD,BD,则AD=BD,AD=BD（5）AD平分∠PAB,BD平分∠PBA点D为△PAB的内心（6）△OPA,△OPB,△APC,△BPC△ACO,△BCO都是Rt△我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。六个·如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？·ABCABCMDNI与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；这个三角形叫做圆的外切三角形。思考结论三角形的内切圆可以作出几个?为什么?.∵角平分线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.ABCI┓●EF已知∠A=80°，则∠BIC=.130°∠BIC=90°+∠A1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。注意作三角形内切圆的方法：ABC1.作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。DMN．o外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形内切圆．o内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的距离。AABBCC提示:多边形的边与圆的位置关系称为切.多边形的顶点与圆的位置关系称为接.OACDB图（1）图（2）说出下列图形中四边形与圆的位置关系.四边形ABCD叫做⊙O的外切四边形四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形根据切线长定理猜想圆的外切四边形的两组对边有什么关系？说明你的结论的正确性.OABCDLMNP补充结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等．·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则S△ABC=(a+b+c)r三角形的内切圆的有关计算如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设CE＝r则AD=b-r,BE=a-r,∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。·ABCEDFO解得r＝a＋b－c2设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝a＋b－c2则有c=(b-r)+(a-r),CBAIDEFABCEDFI特别地，如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙I为Rt△ABC的内切圆.Rt△ABC的内切圆的半径r=（a+b-c)如图，△ABC的内切圆⊙I切△ABC三边AB,BC,AC分别于点D,E,F，设BC=a,AC=b,AB=c,则AD=AF=(b+c-a)BD=BE=(a+c-b)CE=CF=(a+b-c)应用新知1、判断（1）过一点可以做圆的两条切线（）（2）切线长就是切线的长。（）2、已知PA、PB与⊙O相切于点A、B，⊙O的半径为2（1）若四边形OAPB的周长为10，则PA=。（2）若∠APB=60°，则PA=。AB××3322230°4基础题：1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.EFHG正方形22cm2cm·ABCDEO21例1如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，与AC相切于点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ∴ＤＥ∥ＯＣ·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。例2（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。1、小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径)，而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢?小红想了想，采取以下方法:首先把锅平放到墙根，锅边刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长，即可求出锅盖的直径，请你利用下图，说明她这样做的道理.O拓展2、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于C，D，交AB于E，AF为⊙O直径，下列结论：①∠ABP=∠AOP，②BC=DF；③PO∥BF，其中结论正确的是.①②③OEDCFBAP⌒⌒⑵∠DOE的大小是定值。试证：⑴△PDE的周长是定值。（PA+PB）（∠AOB/2）(3)若∠P=40°，你能说出∠DOE的度数吗？3、如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E。OPABCED70°.课时小结一、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。二、三角形的内切圆1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。2、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。