24.3正多边形和圆

各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三条边相等三个角相等（60度）。四条边相等四个角相等（900）正三角形正方形一.正多边形定义问题1，什么样的图形是正多边形？各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.练习:1.矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。正多边形的性质及对称性4.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。1、正多边形的各边相等2、正多边形的各角相等正n边形与圆的关系1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.2.怎样由圆得到多边形呢？ABCD思考1:把一个圆4等分,并依次连接这些点,得到正多边形吗??弧相等弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）—多边形是正多边形思考2:把一个圆5等分,并依次连接这些点,得到正多边形吗??证明：∵AB=BC=CD=DE=EAABCDE⌒⌒⌒⌒⌒∴AB=BC=CD=DE=EA∵BCE=CDA=3AB⌒∴∠A=∠B同理∠B=∠C=∠D=∠E∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.定义：把圆分成n（n≥3）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.EFCD.O中心角半径R边心距r正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:外接圆的半径正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.二.正多边形有关的概念AB新课讲解中心EDCBAO半径中心角边心距正多边形中的有关概念：F既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心ABCODABCODABCEFODABCEO每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．正多边形与三角形DFABCEOGHDABCEFOMNPQGHDFHABCEOGMNDFABCEO作每个正多边形的边心距，又有什么规律？边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．EFCD..O中心角360n中心角180AOGBOGnABG边心距把△AOB分成2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra2211222rSLrnaraR　　　，（）边心距（）边心距面积边心距（）新课讲解EDCBAOF360nnn180)2(中心角与内角互补正n边形的一个内角的度数是____________;中心角是___________;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.相等抢答题：1.o是正与的圆心。△ABC的中心，它是△ABC的2、OB叫正△ABC的它是正△ABC的的半径。3、OD叫作正△ABC的它是正△ABC的的半径。ABC.OD半径外接圆边心距内切圆外接圆内切圆4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的ABCD.OE中心边心距6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的，它是正五边形ABCDE的圆的半径。7、∠AOB叫做正五边形ABCDE的角，它的度数是DEABC.OF边心距内切中心72度8、图中正六边形ABCDEF的中心角是（）它的度数是（）9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？BAEFCD.O∠AOB60度解答：正六边形的半径与边长数量关系是相等因为：正六边形的中心角是60度和半径组成的三角形是等边三角形，所以边长与半径相等。例1、有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积FADE..OBCrRP)(6.4132242121322242422224mLrSrBCPCOCOPCRt亭子的面积心距根据勾股定理，可得边，中，在.606360半径六边形的边长等于它的是等边三角形，从而正，它的中心角等于是正六边形，所以由于OBCABCDEF∴亭子的周长L=6×4=24(m)FADE..OBCrR=4P例2、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，（1）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。（2）求正六边形ABCDEF的边心距。作半径OA、OB；∵OA=OB，∠AOB=60°∴△OAB是正三角形，R=AB=6cm，r6DFABCEOHR解：（1）∵∠HOB=60°=30°21×答：正六边形的外接圆半径是6cm，边心距是cm。33（2）作OG⊥AB于H，得Rt△OHB．练习：已知正六边形ABCDEF的的边心距为r=6cm，求正六边形ABCDEF的外接圆的半径R。rDFABCEOHR例3：如图，正三角形ABC的边心距r3=2,求：R,a3.ABCODS3例4:已知正六边形ABCDEF的半径为R,求这个正六边形的边长a6、周长l6、面积S6.ABCDEFOG当堂训练1.课本P107第1题323正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积360°4161212033639090228412060221263例5:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图①中∠MON的度数;(2)图②中∠MON=;图③中∠MON=;(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.；四边形MONB的面积与正n边形面积之间的关系ABCDEABCD...ABCMNMNMNOOO1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________3．圆内接正四边形的边长为4cm，那么边心距是________4．已知圆内接正方形的边长为4，则该圆的内接正六边形边长为__________．5．圆内接正六边形的边长是8cm用么该正六边形的半径为________；边心距_____．练习；6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D4个7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定•9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（）A．36°B、18°C．72°D．54°•10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（）•11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是()A、33D.a23C.a21Ba3、222272.(323)BaCaD(22-2)a92Aa...•巩固提高：•1、如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）D•2、周长相等的正方形和正六边形的面积分别为S4和S6，则S4和S6的大小关系为___________•3、已知圆的半径为6，则它的内接三角形、正方形、正六边形的边长分别为_______•4、若同一个圆的内接三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3,r4,r6,则r3:r4:r6=____________•5、边长为a的正三角形的高h=_____,外接圆半径R=_____,内切圆半径r=______S4＜S6•6、如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分的面积为，则此正六边形的边长为_______•例7、如图，已知⊙O的内接等腰△ABC，AB=AC，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BE=BC，求证：五边形AEBCD是正五边形•例8、如图，有一个圆O和两个正六边形T1、T2，T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠oAc=30°．AOCB你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………定理：把圆分成n（n≥3）等份：⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。ABCDEO如图：已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形说说作正多边形的方法有哪些?归纳（1）用量角器等分圆周作正n边形；（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．