2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算 课件(人教B版必修4)

第二章平面向量人教B版数学2．2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算第二章平面向量人教B版数学第二章平面向量人教B版数学1．向量的直角坐标向量垂直：如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量．正交分解：如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为，在正交基底下分解向量，叫做．互相垂直正交基底正交分解第二章平面向量人教B版数学向量的直角坐标：在直角坐标系xOy内(如图所示)，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1、e2，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}，任作一向量a，由平面向量基本定理可知，存在惟一的有序实数对(a1，a2)使得a＝，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的，即a＝(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．a1e1＋a2e2坐标第二章平面向量人教B版数学2．向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝．a－b＝．λa＝．(a1＋b1，a2＋b2)(a1－b1，a2－b2)(λa1，λa2)第二章平面向量人教B版数学两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差．向量数乘积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．即一个向量的坐标等于向量终点坐标减去始点坐标．第二章平面向量人教B版数学第二章平面向量人教B版数学重点：平面向量的正交分解，坐标运算．难点：对平面向量的正交分解及坐标表示的理解和应用．学习中应注意的问题1．向量坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同．第二章平面向量人教B版数学2．给定一个向量，它的坐标是惟一的，给定一对实数，由于向量可以平移，以这对实数为坐标的向量有无穷多个．3．相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却不一定相同，如M(0,1)，N(5,8)，MN→＝(5,7)；P(－1,2)，Q(4,9)，PQ→＝(5,7)，显然MN→＝PQ→，但M、N、P、Q四点的坐标各不相同．第二章平面向量人教B版数学4．向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知的数量运算．这也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题．第二章平面向量人教B版数学第二章平面向量人教B版数学[例1]已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C、D和CD→的坐标．[分析]根据题意可设C(x1，y1)，D(x2，y2)，然后利用AC→＝13AB→和DA→＝－13BA→相等关系可得关于x1、y1及x2、y2的方程组，从而可得C、D点坐标及CD→坐标．第二章平面向量人教B版数学[解析]设C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意可得AC→＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3,6)，DA→＝(－1－x2,2－y2)，BA→＝(－3，－6)，∵AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)，(－1－x2,2－y2)＝－13(－3，－6)，第二章平面向量人教B版数学即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．∴x1＋1＝1y1－2＝2，和－1－x2＝12－y2＝2，∴x1＝0y1＝4，和x2＝－2y2＝0.∴C、D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD→＝(－2，－4)．第二章平面向量人教B版数学[点评]本题主要考查向量的坐标表示和向量的坐标运算，解题关键是点的坐标与向量坐标之间的相互转化．第二章平面向量人教B版数学(2010·山东莱州市高一下学期期末测试)若OA→＝(2,8)，OB→＝(－7,2)，则13AB→＝________.[答案](－3，－2)第二章平面向量人教B版数学[解析]∵OA→＝(2,8)，OB→＝(－7,2)，∴AB→＝OB→－OA→＝(－9，－6)，∴13AB→＝(－3，－2)．第二章平面向量人教B版数学第二章平面向量人教B版数学[例2]已知平行四边形ABCD的一个顶点A(－2,1)，一组对边AB，CD的中点分别为M(3,0)、N(－1，－2)，求平行四边形其他三个顶点的坐标．[分析]根据平行四边形的对角线互相平分，求出对角线交点，再利用中点坐标公式求顶点坐标．第二章平面向量人教B版数学[解析]设其余三个顶点的坐标标为B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)．∵M是其中点，∴xM＝xA＋xB2，yM＝yA＋yB2，即3＝－2＋xB2，0＝1＋yB2，解得xB＝8，yB＝－1，∴B(8，－1)．设MN的中点为O′(x0，y0)，第二章平面向量人教B版数学则x0＝3＋－12＝1，y0＝0＋－22＝－1.又∵O′是AC的中点，∴x0＝xA＋xC2，y0＝yA＋yC2，即1＝－2＋xC2，－1＝1＋yC2解得xC＝4，yC＝－3，∴C(4，－3)．同理O′又是BD的中点，解得xD＝－6，yD＝－1.∴B(8，－1)，C(4，－3)，D(－6，－1)．第二章平面向量人教B版数学[点评]应用平行四边形对角线互相平分这一性质是本题用中点公式解题的前提．第二章平面向量人教B版数学已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)，求线段BD的中点M的坐标．第二章平面向量人教B版数学[解析]设点B的坐标为(x1，y1)，∵AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，∴x1＋1＝4y1＋2＝3，∴x1＝3y1＝1.∴B(3,1)．同理可求得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，∴x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，∴M＝－12，－1.第二章平面向量人教B版数学第二章平面向量人教B版数学[例3]在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，G为△ABC的重心，求点G的坐标．[分析]三角形的重心是三条中线的交点，且重心到三角形顶点的距离等于它到底边中点距离的2倍．第二章平面向量人教B版数学[解析]设D为BC的中点，E为AC的中点，AD与BE相交于点G，则G即为三角形的重心．由平面知识可得AGGD＝，即AG→＝23AD→＝23[12(AB→＋AC→)]＝13(AB→＋AC→)＝13[(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)]＝13(x2＋x3－2x1，y2＋y3－2y1)．第二章平面向量人教B版数学设G(x，y)，则AG→＝(x－x1，y－y1)，∴x－x1＝x2＋x3－2x13y－y1＝y2＋y3－2y13，解得x＝x1＋x2＋x33y＝y1＋y2＋y33.即G(x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33)．第二章平面向量人教B版数学已知平面上三点的坐标分别为A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，再求一点D，使这四个点构成平行四边形，则D点的坐标为________．[答案](1,5)或(5，－5)或(－3，－5)第二章平面向量人教B版数学[解析]当平行四边形为ABCD时，AB→＝DC→，又AB→＝(4,0)，DC→＝(1－x，－5－y)，∴4＝1－x0＝－5－y，∴x＝－3y＝－5.∴D(－3，－5)．当平行四边形为ABDC时，AB→＝CD→，∴4＝x－10＝y＋5，∴x＝5y＝－5.∴D(5，－5)．第二章平面向量人教B版数学当平行四边形为ACBD时，AC→＝DB→，又AC→＝(2，－5)，DB→＝(3－x，－y)，∴2＝3－x－5＝－y，∴x＝1y＝5.∴D(1,5)．第二章平面向量人教B版数学第二章平面向量人教B版数学[例4]已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，点P在第三象限，求λ的取值范围．第二章平面向量人教B版数学[误解]因为AP→＝AB→＋λAC→＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，又因为点P在第三象限，∴3＋5λ01＋7λ0，解得λ－35.第二章平面向量人教B版数学[辨析]混淆了向量AP→的坐标与点P的坐标，导致错误．[正解]设P(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．又因为AP→＝AB→＋λAC→＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即x－2＝3＋5λy－3＝1＋7λ，解得x＝5＋5λy＝4＋yλ.第二章平面向量人教B版数学∵点P在第三象限，∴x＝5＋5λ0y＝4＋7λ0，解得λ－1.第二章平面向量人教B版数学第二章平面向量人教B版数学一、选择题1．(2010·济南一中高一下学期期末测试)已知A(－3,2)，AB→＝(8,0)，则线段AB中点的坐标为()A．(－1,2)B．(1,2)C．(1，－2)D．(－1，－2)第二章平面向量人教B版数学[解析]设B(x，y)，则AB→＝(x＋3，y－2)，又∵AB→＝(8,0)，∴x＋3＝8y－2＝0，∴x＝5y＝2.∴B(5,2)．又A(－3，－2)，∴线段AB中点的坐标为(－3＋52，2＋22)即(1,2)．[答案]B第二章平面向量人教B版数学2．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7)D．(1,3)[答案]A[解析]a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．第二章平面向量人教B版数学3．已知MA→＝(－2,4)，MB→＝(2,6)，则12AB→等于()A．(0,5)B．(0,1)C．(2,5)D．(2,1)[答案]D[解析]12AB→＝12(MB→－MA→)＝12((2,6)－(－2,4))＝12(4,2)＝(2,1)故选D.第二章平面向量人教B版数学[解析]由题意，得x2－2x＝0x－2＝0，解得x＝2.二、填空题4．若(x2－2x，x－2)＝0，则x＝________.[答案]2第二章平面向量人教B版数学5．已知作用在原点的三个力F1＝(1,2)，F2(－2,3)，F3＝(－1，－4)，则它们的合力的坐标为________．[答案](－2,1)[解析]F合＝F1＋F2＋F3＝(－2,1)第二章平面向量人教B版数学三、解答题6．已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以AB→、AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→.第二章平面向量人教B版数学[解析]AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(－3,5)，BD→＝(－4,2)，CD→＝(－5,1)，∴AD→＋BD→＋CD→＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n使得AD→＋BD→＋CD→＝m·AB→＋n·AC→，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，第二章平面向量人教B版数学也就是(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，可得m＋2n＝－123m＋4n＝8，解得m＝32n＝－22.∴AD→＋BD→＋CD→＝32AB→－22AC→.第二章平面向量人教B版数学