电工学2第11讲：逻辑代数-化简

回顾：门电路与Y=ABC&ABYC或Y=A+B+CABYC1非Y=A1AYY=ABC与非Y&ABCY=A+B+C或非YABC120.5逻辑代数逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。这是它与普通代数的本质区别。1.常量与变量的关系20.5.1逻辑代数运算法则2.逻辑代数的基本运算法则自等律AAAA100-1律0011AA重叠律AAAAAA还原律AA互补律01AAAA交换律ABBAABBA2.逻辑代数的基本运算法则普通代数不适用！证:CBABCAAA结合律)()(CBACBA)()(CBACBA分配律CABACBA)()()()(CABACBA)()(CABAAA=ABCBCAA)(BCBCA)(1A+1=1BCA证毕吸收律(1)A+AB=A(2)A(A+B)=AABBAA)(AABAB（3）（4）证：A=A+A..证：BAAAABAB补：BBAABABA))((ABAAB)(（5）（6）CAABBC......CAAB自己证明(提示：BC•1）110011111100反演律BABABABA列真值表证明：AB0001101111100100ABBABABABA0000∴以上等式成立，证毕反演律应用举例：用“与非”门构成基本门电路最常见(1)应用“与非”门构成“非”门电路AY&YA(2)应用“与非”门构成“与”门电路由逻辑代数运算法则：ABYABAY&B&(3)应用“与非”门构成“或”门电路由逻辑代数运算法则：BAYBABABAY&&&(4)用“与非”门构成“或非”门由逻辑代数运算法则：BAYBABAYBA&&&&20.5.2逻辑函数的表示方法逻辑电路的设计真值表逻辑式逻辑图逻辑电路的分析一个重要概念——P252（1）最小项：对于n输入变量有2n种组合,其相应的乘积项也有2n个，则每一个乘积项就称为一个最小项。其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次，且仅一次。如：三个变量，有8种组合，最小项就是8个ABCACBABABCBACBCAY式中哪些是最小项？哪些不是？20.5.3逻辑函数的化简由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能。从而可节省器件，降低成本，提高电路工作的可靠性。利用逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。化简方法公式法卡诺图法在此要求化为最简与或式：①首先，项数最少；②在项数最少的前提下，各项的因子最少！例1：化简1.应用逻辑代数运算法则化简（1）并项法CABCBACBAABCY)()(BBCABBACCAACA化简CBCAABY（2）配项法)(AACBCAABCBACACABABCAAB例2：例3：化简CBACBAABCY（3）加项法ABCCBACBAABCACBCCBCBA)(（4）吸收法BAABCBACBAY化简例4：CBCBABABAA吸收CBA例5：化简以下函数DBCDCBADABABCYDBABCDCBAABCDBCDCBAABDBCDCBAB)(DCBCDABCDBCDAB)(DADBCDCBAABC吸收吸收BCDABCDB吸收DBCDCAAB)(吸收说明一个问题LABABBCBCC＋CA＋AABABCABCABCABCBCABACBC也可以LABABBCBC加C加AABCABCABBCABCABCACABBC两个不同的结果，哪一个正确？答案都正确!最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。与普通代数不同：表达式不唯一！2.卡诺图法——应用卡诺图将函数化简为最简与或式卡诺图:是与变量的最小项对应的按一定规则排列的方格图，每一小方格填入一个最小项。P252复习最小项：对于n输入变量有2n种组合,其相应的乘积项也有2n个，则每一个乘积项就称为一个最小项。其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次，且仅一次。如：三个变量，有8种组合，最小项就是8个，卡诺图也相应有8个小方格。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。(2)卡诺图BA0101BABABABA二变量BCA00100m011110三变量1m3m2m4m5m7m6m二进制数对应的十进制数编号AB000m0111101m3m2m4m5m7m6mCD00011110四变量12m12m15m14m8m9m11m10m任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变(2)卡诺图（a)根据状态表画出卡诺图如:将输出变量为“1”的填入对应的小方格,为“0”的可不填。0000ABCY0011010101101001101011001111ABC0010011110ABC00100111101111(2)卡诺图（b)根据逻辑式画出卡诺图ABC0010011110将逻辑式中的最小项分别用“1”填入对应的小方格。如果逻辑式中最小项不全，可不填。如:ABCCBACBACBAYABC00100111101111注意：如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项，再填写。(3)应用卡诺图化简逻辑函数的原则（画圈的原则）①每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。②尽量画大圈，使圈的个数尽量少。③卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。④（在新画的包围圈中至少要含有1个末被其它圈圈过的“1”方格，否则该包围圈是多余的。（4）用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是：取值为1的变量用原变量表示、取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与，然后将所有项相加，即得最简与—或表达式。归纳：步骤：填图、画圈、写式子口诀：圈大2n;重复有新；不拐不漏，边角为邻；1原0反；异去同存。ABCD00011110000100000010011011101110A取值同—“存”B取值（异）不同—“去”C、D同样∴ADAB0000010011001000CD0001111000011110ABC00100111101111例1.ABCCABCBABCAY用卡诺图表示并化简。解：(a)将取值为“1”的相邻小方格圈成圈，(b)所圈取值为“1”的相邻小方格的个数应为2n，(n=0,1,2…)由式→卡诺图的方法：1、化为最小项法2、直接填图法ABACBCY00ABC100111101111解：写出简化逻辑式CACBY多余AB00011110CD000111101111相邻DBY例2.应用卡诺图化简逻辑函数CBABCACBACBAY(1)(2)DCBADCBADCBADCBAY熟练以后，也可直接填图而不必化为最小项，如下例解：写出简化逻辑式DBAYAB00011110CD000111101例3.应用卡诺图化简逻辑函数DBDBCBAAY111111111含A均填1化简时：1.圈的个数应最少2.每个“圈”要最大3.每“圈”至少包含一个未被圈过的最小项如“0”特别少，也可圈0，但结果为。重做上题。Yi2项少i个因子，填格00ABC100111100111解：例4.应用卡诺图化简逻辑函数CBBABCABACBAYC111写出简化逻辑式CBBACAY也可另外组合，例如00ABC100111100111111CABACBY得：答案不是唯一的！例5：化简下图ABCD00011110000110110101111111111110ADCCBDBDCBDCBDBCBDCAF本题0少，也可圈0，得Y。课堂小结1、逻辑运算：3种基本、4种复合2、三种表达方式：式、表、图3、运算法则：23种4、化简:公式法作业：P291习题20.5.9;20.5.11～12,14P287～9选择题20.5.1～6P286选择题答案20.1.1（1)；20.2.1(c),2(2),3(3)