(高三数学第二轮复习教案)第6讲立体几何问题的题型与方法

1高三数学第二轮复习教案第6讲立体几何问题的题型与方法（4课时）一、考试内容：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离。直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球。二、考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。（2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。（3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。（4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。（5）会用反证法证明简单的问题。（6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。三、复习目标1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．2四、双基透视高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内.选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提.随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．2．判定两个平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。3．两个平面平行的主要性质：⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。4．空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2]，直线与平面所成的角θ∈0,2，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈(0，π]．对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l－的平面角（记作）通常有以下几种方法：(1)根据定义；(2)过棱l上任一点O作棱l的垂面，设∩＝OA，∩＝OB，则∠AOB＝(图1)；(3)利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A，分别作另一个平面的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝或∠ACB＝－(图2)；(4)设A为平面外任一点，AB⊥，垂足为B，AC⊥，垂足为C，则∠BAC＝或∠BAC＝－(图3)；(5)利用面积射影定理，设平面内的平面图形F的面积为S，F在平面内的射影图形3βABCβABC的面积为S，则cos＝SS'.图1图2图35.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．6．棱柱的概念和性质⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱直棱柱正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．多面体与旋转体的体积问题是《直线、平面、简单几何体》课程当中相对独立的课题．体积和面积、长度一样，都是度量问题．常用“分割与补形”，算出了这些几何体的体积．7．欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E＝2.计算棱数E常见方法：(1)E＝V+F-2；(2)E＝各面多边形边数和的一半；(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半。8．经纬度及球面距离⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角的平面角)，∠POB=40°（线面角）。⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。线段AP的长∠AOP的弧度数大圆劣弧AP的长9．球的表面积及体积公式ABOβγβABCβCAB⌒⌒⌒⌒⌒4S球表=4πR2V球=34πR3⑴球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积＝31Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以V球＝31S球面·R＝31·4πR2·R＝34πR3.⑵在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出球的外径（直径）.⑶球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。10．主要题型：⑴以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。⑵利用欧拉公式求解多面体顶点个数、面数、棱数。⑶求球的体积、表面积和球面距离。解题方法：求球面距离一般作出相应的大圆，转化为平面图形求解。五、注意事项1．须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。2．与“直线与直线平行”、“直线与平面平行”的概念一样“平面与平面平行”是指“二平面没有公共点”。由此可知，空间两个几何元素（点、直线、平面称为空间三个几何元素）间“没有公共点”时，它们间的关系均称为“互相平行”。要善于运用平面与平面平行的定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。3．注意两个平行平面的画法——直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面的平行四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写法一议，即将“平面平行于平面”，记为“∥”。4．空间两个平面的位置关系有且只有“两平面平行”和“两平面相交”两种关系。5．在明确“两个平行平面的公垂线”、“两个平行平面的公垂线段”、“两个平行平面的距离”的概念后，应该注意到，两平行平面间的公垂线段有无数条，但其长度都相等——是唯一确定的值，且两平行平面间的公垂线段，是夹在两平行平面间的所有线段中最短的线段，此外还须注意到，两平行平面间的距离可能化为“其中一个平面内的直线到另一个平面的距离”又可转化为“其中一个面内的