抛物线性质

抛物线的简单几何性质刘婷定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py一、温故知新范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知研究抛物线y2=2px（p0）的哪些几何性质?抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴顶点3、yox)0,2(pF定义：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）只有一个离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。图形方程焦点准线范围顶点对称性elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)关于x轴对称关于y轴对称1三、归纳提炼思考抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.xoyP越大,开口越开阔因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过第四象限点M（２，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22四、典例精析坐标轴例2：已知直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，l24yxxyFO（1）若直线的斜率为1，求线段AB的长l（2）若,求线段AB的长OAOB（3）若直线的倾斜角为，求线段AB的长l解这题,你有什么方法呢?B`A`AB法一:直接求两点坐标,计算弦长法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长法三:设而不求,数形结合,活用定义，利用韦达定理计算弦长.122ABxx（2）若,求线段AB的长OAOBxyFOA(1,2),B(1,-2)例2：已知直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，l24yxAABBxyFO（1）若直线的斜率为1，求线段AB的长l（3）若直线的倾斜角为，求线段AB的长lxyFO（1）若直线的斜率为1，求线段AB的长l（2）若,求线段AB的长OAOB（3）若直线的倾斜角为，求线段AB的长l'cosAFAApAFAB'AB`MOFxyNG例2：已知直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，l24yx五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；p越大,抛物线的开口越大1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、开口大小：必做：习题2.4A组4、5、6选做：习题2.4B组1、3六、课后作业