抛物线最值问题求法

抛物线中常见最值问题求法一、复习引入1.抛物线的定义:2.抛物线的标准方程和性质:二、典例分析24,FyxMMAMF在抛物线上找一点使最小，其中，A(3,2),（1，0）求M点的坐标及此时问题一值。、的最小MFxyA1M1M=MAMFMAMMMAMM１１１如图，由抛物线定义当且仅当Ａ、解：Ｍ、Ｍ三点共线时，最小４，此时Ｍ（１，２）２１２１２已知抛物线ｙ＝４ｘ和定点Ａ（７，８），抛物线上有一动点Ｍ，Ｍ到点Ａ的距离为ｄ，Ｍ到抛物线准线距离ｄ，求ｄ、＋ｄ的最小值及此时变式训练1Ｍ点坐标MFxyA1M１２ｄ解、由抛物线定义＋ｄ＝ＭＡ＋ＭＦ当且仅当Ａ、Ｍ、Ｆ三点共线ＭＡ＋ＭＦ最小是ＡＦ＝１０易求此时Ｍ（４，４）221412(1,4),2+xyFAPPAPF已知点是双曲线的左焦点，定点是双曲线右支上的动点，变式训求的练。：最小值FAPyx''F,F=2PFPa解：设双曲线右焦点是由双曲线定义yFAPx'F2PFPAaPAPF49AF(,)２求点Ａ３０到抛物线ｙ＝４ｘ上点距离的最小值，并求此时抛物线上问题二：点的坐标AMFxy(,)4yx=２2解：设点Ｍｘｙ是抛物线ｙ＝４ｘ上任一点,则22(3)AMxy=-+2(3)4xx=-+229xx=-+2(1)8x=-+0x³min122,(1,2)xAMM\==?当时，此时变式训练1：222431MyxxyMQ=-+=动点在抛物线上运动，动点Q在圆()上运动，求的最小值xMFyAQ只需求出动点M到圆心A(3,0)距离最小值再减去圆半径即可。分析：“动中求静”min221=-MQ变式训练2：(,)２求点Ａm０到抛物线ｙ＝４ｘ上点距离的最小值，并求此时抛物线上点的坐标AMFxy(,)4yx=２2解：设点Ｍｘｙ是抛物线ｙ＝４ｘ上任一点,则22()AMxmy=-+2()4xmx=-+22(42)xmxm=+-+2(2)44xmm=+-+-0x³2max20,;mxAMm\?=当时，max22,44;mxmAMm\=-=-当时，M2动点在抛物线y=4x上,求点M到直线y=x+4距离d的最小值，并求此时点问题三：M的坐标MFxy(,)4yx=２2解法一：设点Ｍｘｙ是抛物线ｙ＝４ｘ上任一点,则42xyd-+=2442yy-+=2(2)1242y-+=min322,(1,2)2ydM\==当时，此时yxb=+解法二、设直线与抛物线相切222(24)04yxbxbxbyxì=+ïï?-+=íï=ïî联立22(24)401bbbD=--=?1,2此时，切点（）即为所求点M4010xyxy-+=-+=32两平行线和的距离d=即为所求2AMFxyM22x动点在椭圆+y=1上,求点4M到直线y=x+4距离d的最大值和变式训练：最小值。4yx=+思路求与直线平行的椭分析：圆的切线4yx=+切线与直线的距离即为最值minmax42104210,22dd-+==xyo三、课时小结抛物线最值问题常用求法：1、利用定义求最值；2、构造二次函数，利用配方法求最值；3、利用作切线法求最值；四、课堂练习213yx、定长是的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求线段AB的中点M到y轴距离d的最小值FxyABM1M1B1A112AABB+=1分析：如图MM2AFBF+=322AB?135424dd\+砛?22)14xy32、求点P(0,到椭圆上点的最大距离，2并求此时椭圆上点的坐标分析：将椭圆上任意一点Q与点P的距离表示成一个变量的函数然后求最值。xyQP(,)Qxy解：设点是椭圆上任一点，2214xy+=则222325(0)()3324PQxyyy\=-+-=--+213()72y=-++11y-＃max172yPQ\=-=当时，11(3,),(3,)22Q---此时，拓展题:22(0,)17xPmy+=求点使其到椭圆上点的最大距离是4四、课后作业：讲义