2.4.2抛物线的几何性质1.抛物线y2=2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率、焦半径分别是什么?范围:x≥0,y∈R;对称性:关于x轴对称;顶点:原点;离心率:e=1;焦半径:.0||2pMFx=+复习回顾过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,线段AB叫做抛物线的焦点弦,请你探究焦点弦具有哪些性质.OxyBAF问题提出1、焦点弦AB的长如何计算?设AB为焦点弦.点A(x1,y1),B(x2,y2)|AB|=x1+x2+pOxyBAF探求新知2、抛物线的焦点弦AB的长是否存在最小值?若存在,其最小值为多少?垂直于对称轴的焦点弦最短,叫做抛物线的通径,其长度为2p.OxyBAF探求新知3、A、B两点的坐标是否存在相关关系?若存在,其坐标之间的关系如何?221212,4pyypxx=-=OxyBAF探求新知4、利用焦半径公式,|AF|,|BF|可作哪些变形?|AF|与|BF|之间存在什么内在联系?112||||AFBFp+=OxyBAF探求新知OxyBAF5、由焦点弦长公式得,这个等式的几何意义是什么?12||222ABxxp+=+以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.探求新知6、过点A、B作准线的垂线,垂足分别为C、D,则△ACF和△BDF都是等腰三角形,那么∠CFD的大小如何?90°探求新知l.FxOyKABDC即以为直径的圆与AB相切于F.CD7、过点A、B作准线的垂线,垂足分别为C、D,A、O、D三点共线吗?CDOxyBAF探求新知ODOAkk证明8、若直线AO交准线于D,DB与X轴平行吗?DOxyBAF探求新知BDyy证明9、设点M为抛物线准线与x轴的交点,则∠AMF与∠BMF的大小关系如何?相等探求新知OxyBAFMA1B1OAA1B1OAA1B1BMAMkk证明过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,焦点弦AB具有如下性质.形成结论OBAFCxyDM12222121221;sin2,3,;41124;5;6790pABxxpABpyypxxAFBFpABAMFBMFDFC有最小值为通径长2p;以为直径的圆与抛物线的准线相切),(22yxB,),(11yxA⒈过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点.若,则|AB|=___________xy42621xx⒉过抛物线的焦点作倾斜角为的弦,则此弦长为________;一条焦点弦长为16,则弦所在的直线倾斜角为_________.xy12243⒊过抛物线的对称轴上有一点M(p,0),作一条直线与抛物线交于A、B两点,若A点纵坐标为,则B点纵坐标为________)0(22ppxy2p824pxxAB21||焦点弦长与对称轴的夹角)为直线其中焦点弦长ABpAB(sin2||2323或4p22122220222)(pyypykpypxypxky由m例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C,求证:直线BC平行于抛物线的对称轴.OBAFCxy例题讲解OBAFCxy112211121212222212:,,,2,2?CCAxyBxyypOAyxxxyppxyyyypppyypyyBCX解设则直线的方程为令则又轴例题讲解例题讲解2例2:设A,B是抛物线y=2pxp0上的两点,且满足OA⊥OBO为坐标原点,求证:直线AB经过一个定点.OBAxyOBAxy:,0,1.OAykxkxk解如图设的方程是则因OAOB,故可设OB的方程为y=-2222,2ykxppAkkypx由得的坐标2212,22yxBpkpkkypx由得的坐标22222,:2222ppyxkkABpppkpkkk由两点式得的方程为例题讲解2222,:1pkpAByxkkk整理得的方程为2222:11pkpAByxkkkk的方程为222211kppyxkkkk221kyxpk例题讲解直线AB经过一个定点2p,0.课堂小结1.抛物线有许多几何性质,探究抛物线的几何性质,可作为一个研究性学习课题,其中焦点弦性质中的有些结论会对解题有一定的帮助.2.焦点弦性质y1y2=-p2是对焦点在x轴上的抛物线而言的,对焦点在y轴上的抛物线,类似地有x1x2=-p2.