抛物线焦点弦的性质

2.4.2抛物线的几何性质1.抛物线y2＝2px（p＞0）的范围、对称性、顶点、离心率、焦半径分别是什么？范围：x≥0，y∈R；对称性：关于x轴对称；顶点：原点；离心率：e＝1；焦半径：.0||2pMFx=+复习回顾过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，线段AB叫做抛物线的焦点弦，请你探究焦点弦具有哪些性质.OxyBAF问题提出1、焦点弦AB的长如何计算？设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝x1＋x2＋pOxyBAF探求新知2、抛物线的焦点弦AB的长是否存在最小值？若存在，其最小值为多少？垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛物线的通径，其长度为2p．OxyBAF探求新知3、A、B两点的坐标是否存在相关关系？若存在，其坐标之间的关系如何？221212,4pyypxx=-=OxyBAF探求新知4、利用焦半径公式，|AF|,|BF|可作哪些变形？|AF|与|BF|之间存在什么内在联系？112||||AFBFp+=OxyBAF探求新知OxyBAF5、由焦点弦长公式得，这个等式的几何意义是什么？12||222ABxxp+=+以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.探求新知6、过点A、B作准线的垂线，垂足分别为C、D，则△ACF和△BDF都是等腰三角形，那么∠CFD的大小如何？90°探求新知l.FxOyKABDC即以为直径的圆与AB相切于F.CD7、过点A、B作准线的垂线，垂足分别为C、D，A、O、D三点共线吗？CDOxyBAF探求新知ODOAkk证明8、若直线AO交准线于D，DB与X轴平行吗？DOxyBAF探求新知BDyy证明9、设点M为抛物线准线与x轴的交点，则∠AMF与∠BMF的大小关系如何？相等探求新知OxyBAFMA1B1OAA1B1OAA1B1BMAMkk证明过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，焦点弦AB具有如下性质.形成结论OBAFCxyDM12222121221;sin2,3,;41124;5;6790pABxxpABpyypxxAFBFpABAMFBMFDFC有最小值为通径长2p;以为直径的圆与抛物线的准线相切),(22yxB，),(11yxA⒈过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点．若，则|AB|=___________xy42621xx⒉过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则此弦长为________；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜角为_________．xy12243⒊过抛物线的对称轴上有一点M(p,0)，作一条直线与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为，则B点纵坐标为________)0(22ppxy2p824pxxAB21||焦点弦长与对称轴的夹角）为直线其中焦点弦长ABpAB(sin2||2323或4p22122220222)(pyypykpypxypxky由m例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点C，求证：直线BC平行于抛物线的对称轴.OBAFCxy例题讲解OBAFCxy112211121212222212:,,,2,2?CCAxyBxyypOAyxxxyppxyyyypppyypyyBCX解设则直线的方程为令则又轴例题讲解例题讲解2例2:设A,B是抛物线y=2pxp0上的两点,且满足OA⊥OBO为坐标原点,求证:直线AB经过一个定点.OBAxyOBAxy:,0,1.OAykxkxk解如图设的方程是则因OAOB,故可设OB的方程为y=-2222,2ykxppAkkypx由得的坐标2212,22yxBpkpkkypx由得的坐标22222,:2222ppyxkkABpppkpkkk由两点式得的方程为例题讲解2222,:1pkpAByxkkk整理得的方程为2222:11pkpAByxkkkk的方程为222211kppyxkkkk221kyxpk例题讲解直线AB经过一个定点2p,0.课堂小结1.抛物线有许多几何性质，探究抛物线的几何性质，可作为一个研究性学习课题，其中焦点弦性质中的有些结论会对解题有一定的帮助.2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在x轴上的抛物线而言的，对焦点在y轴上的抛物线，类似地有x1x2＝－p2.