抛物线焦点弦的性质公开课

2.2.2抛物线的简单几何性质（3）抛物线的焦点弦的性质xx中学数学组xx1.抛物线的定义2.抛物线的几何性质3.直线与抛物线的位置关系复习回顾220,,ykxmypxp设直线抛物线则0k（1）当，直线与抛物线的对称轴平行，一个交点；00000=k（2）当，两个交点，两个交点，一个交点，没有交点。标准方程图形焦点准线)0,2(p)2,0(p)2,0(p)0,2(p2px2px2py2py)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx0x0x0y0y轴x轴x轴y轴y)0,0()0,0()0,0()0,0(1e1e1e1exyoFxyoFxyoFxyoF范围对称轴顶点离心率标准方程图形焦点准线焦半径)0,2(p)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyxxyoFxyoFxyoFxyoF(,0)2p22(0)ypxp)2,0(p(0,)2p2px2px2py2py00(,)Mxy02pMFx02pMFy02pMFy02pMFx抛物线的标准方程及性质24,yxFAB例1：斜率为1的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段AB的长。22121212146106228:,==yxyxxxxxppAFxBFxABAFBFxxp解由已知，直线AB的方程为代入方程得由椭圆的焦半径公式，，，OxyAFB探究新知2112220,,,.ypxpFlAxyBxy已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点性质1121:||ABxxp性质OxyAFB变式1：倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解:设1122(,),(,)AxyBxy,焦点(,0)2pF11(,)xy22(,)xyMN准线:2plx,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.当90时，直线AB的方程为tan()2pyx1222=tanpxxp由2tan()22pyxypx消去y并整理12AB=xxpAB=22sinp∴22222tan(tan2)tan04pxppx=90呢？解:设1122(,),(,)AxyBxy22(,)xy由2cot22pxyypx消去x并整理得222cot0ypyp11(,)xy∴122cotyyp,212yyp∵焦点(,0)2pF,直线AB的倾斜角为∴直线AB的方程为cot2pxy21212211+()4AByyyyk=22sinp与直线的倾斜角无关!11(,)xy11(,)xy性质2性质2：AB=22sinp.倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,则1122121212AOB,,,-S=OF-ABCAxyBxyAByyyy思考：设，与有什么关系？结合，你能表示的面积吗？12-=ABsinyy22=sinAOBpS2112220,,,.,.ypxpFlAxyBxy变式2：已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点焦点弦中证：通径最短求222222122:sinsin,sin,pABppABp解由问题知:的最小值为即通径最短.1223::;,;.p通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通的性质最短的径性质3性质3：焦点弦中，通径最短。直线l经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,则211222212123204,,,.:,.ypxpFlAxyBxypxxyyp变式：已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证212221212221212222244:,,,()yypyyxxppyyPxxP解由变式的解法知:性质422121244,.pxxyyp性质：倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,则21122042,,,.:ypxpFlAxyBxyAB已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证以为直径的圆与准变式：线相切.111111222:,,,,,,,.ABMABMABMAABBAFBFABMM解设的中点为过分别作准线的垂线垂足分别为则结论得证若00(,)Mxy，你能用0x表示AB吗？02||ABxp性质55性质：（1）以AB为直径的圆与准线相切；倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,则（2）若00(,)Mxy为AB的中点，则0=2+2pABx（）；（3）190.AMB22222212222041111222:,,(),,()lpykxlkypxkpkxpkxppFAFBpxx解若直线的斜率不存在结论显然成立若直线的斜率存设为则21122252011,,,.:ypxpFlAxyBxyFAFBp已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证变式：21122201152,,,.:ypxpFlAxyBxyFAFBp已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证变式：11111112:,,,,,cos,coscoscos,,.ABxRSlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBp另解过作轴的垂线垂足分别为直线的倾斜角为同理焦半径的另一种表现形式！性质6倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、(A在x轴上方)，则611112=,=coscosppAFBFFAFBp性质：，24yx22(,)xy11(,)Axy，126xx2.(2014新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于Ａ、B两点，则，△OAB的面积为.23Cyx：AB.3.(2010重庆理)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.24yx3AFFB8831294典例解析2112220,,,.ypxpFlAxyBxy已知过抛物线的焦点的直线（倾斜角为）交抛物线于两点121||.ABxxp（）(2)AB=22sinp.(3)焦点弦中，通径最短。22121244,.pxxyyp（）5（）以AB为直径的圆与准线相切；112611=,=.coscosppAFBFFAFBp（），若00(,)Mxy为AB的中点，则0=2+2pABx（）.小结一、知识总结小结二、数学思想方法总结设而不求，整体代入转化化归思想数形结合思想函数思想2112220,,,.ypxpFlAxyBxy已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点课后思考11119090,AFBAMB（）21111112221112344();(),,,,,;().MFAFBFAMAFHBMBFQMQFHAMMBMM设与交于与交于则四点共圆11111111111111111111111111211111111290903490:(),.(),,,,,,,;();(),,MABAMBMAFBMABAMMFMFAMAFAAFAFAAAFFAMAAMAFAAFMMFABMFAFBFAMBMAMBAFBFAFB解在以为直径的圆上为直角三角形是斜边的中点又11222211222111190524,,,,;()MQFHAMMBABAFBFAABBMMMM四点共圆2112211111120123439,,,.(),,;(),,;(),;(),.(;):ypxpFlAxyBxyAOBBOAAOBBBxBOAAAx已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点三点共线三点共线设直线与准线交于则平行轴设直例抛物线的焦点弦问题线与准线交于则平行题轴问11112221112212221222222234:,,,,,,.(),(),().oAoBoAoByyyypkkpyxyppypyypkkppyAOB解而三点共线同理可证作业同步解析与测评74随堂检测；增效作业1,3,5,9.