抛物线的切线问题

抛物线中的切线问题PA的方程为ryyxx211PB的方程为ryyxx222则有ryyxx20101ryyxx20202可知A点在直线ryyxx200B点在直线ryyxx200所以AB的方程为ryyxx200yxyxBA2211,,,解：设过圆外一点向圆做切线,切于A、B两点,求过A、B的直线方程.yxP00,ryx222·pABxyo（山东高考题)如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.(Ⅰ)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；(Ⅱ)已知当M点的坐标为（2，-2p）时，410AB，求此时抛物线的方程；（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22xxAxBxxxMxppp＜由22xpy得22xyp，则,xyp所以12,.MAMBxxkkpp因此直线MA的方程为102(),xypxxp直线MB的方程为202().xypxxp所以211102(),2xxpxxpp①222202().2xxpxxpp②由①、②得:12120,2xxxxx因此1202xxx，即0122.xxx所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：2211440,xxp2222440,xxp所以x1、x2是方程22440xxp的两根，因此212124,4,xxxxp又22210122122,2ABxxxxxppkxxpp所以2.ABkp由弦长公式得2221212241()411616.ABkxxxxpp又410AB，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为22xy或24.xy思考1:如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，设A(x1,y1)在抛物线上.试过A的切线方程解:22xpy得22xyp，得xyp11'1xxxxxxypp11111(,)()xAxyyyxxp过的切线方程为:211111:2pypyxxxxxpy即A(x1,y1)11()xxpyy即：=20000(,))Pxyxxxy是抛物线=2py(p0)上一点,过P点作抛物线的切线,则切线方程为:=p(y+结论1:22002200:(,)yxryPxyy类比圆是圆上一点,x过P点作圆的x+切线则切线程为:=r方变式1:如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，M(x0,y0)为22xpy外任意一点,过M引抛物线的切线，切点分别为AB，．问:AMB，，三点的横坐标是否仍成等差数列?11221122:(,),(,)(),()AxyBxyxxpyyxxpyy解由结论1可知过的切线方程分别为:0010102020(,)()()Mxyxxpyyxxpyy两切线过点2110022200()2()2xxxpypxxxpyp012:2xxx整理可得思考2：如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，M(x0,y0)为22xpy外任意一点,过M引抛物线的两条切线，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)．求过A,B两点的直线方程。..11221122:(,),(,)(),()AxyBxyxxpyyxxpyy解由结论1可知过的切线方程分别为:0010102020(,)()()Pxyxxpyyxxpyy两切线过点112200(,),(,)()AxyBxyxxpyy都是直线上的点00:()ABxxpyy直线方程为..思考2：如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，M(x0,y0)为22xpy外任意一点,过M引抛物线的两条切线，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)．求过A,B两点的直线方程。..00()xxpyy结论2:2001122(,)(,),(,),PxyxxyxyAB是抛物线=2py外一点,过P点作抛物线的两条切线,切点分别为AB则直线的方程为:00)xx=p(y+y变式4:设抛物线方程为22(0)xpyp，若M(x0,2p)是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,过M引抛物线的切线，切点分别为AB，问:A,B,F三点是否共线?变式5:如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，若M(x0,2p)是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,过M引抛物线的切线，切点分别为AB，．问:直线AM,BM有何位置关系?几何画板变式5:如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，若M(x0,2p)是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,过M引抛物线的切线，切点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，你能得到哪些结论?小结:1.我们从一高考题出发,挖掘了抛物线与其切线的内在联系,运用从特殊到一般的数学归纳思想,得到了切线公式,切点弦公式。对抛物线的切线问题进行深入研究,数形结合，合理猜想，探究了切线与相交弦之间的关系，加深对抛物线中切线应用的理解2.坐标法是解析几何最重要的思想方法,是解决直线与圆锥曲线的综合问题的有效方法3.在解题的探索过程,培养了学生发现能力,钻研能力.作业:由22xpy，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp直线MB的方程为202()xypxxp因此直线MA的方程为102()xypxxp所以211102()2xxpxxpp①222202()2xxpxxpp．②221212120(2)22xxAxBxxxMxppp，，，，，，证明:由题意设由①、②得121202xxxxx，因此0122xxx..证明:因此0122xxx..直线MA的方程为2111()2xxyxxpp211001()2xxyxxpp2201101()22xxxxxppp22101020xxxx22202020xxxx同理221200,20xxxxxx是方程两根A(x1,y1)