抛物线的基本性质1

yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质由抛物线y2=2px（p0）所以抛物线的范围为0x1、范围2、对称性(,)xy关于x轴对称(,)xy３、顶点：坐标原点（0，0）4、离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。图形标准方程范围对称性顶点离心率)0(2ppxy2)0(2ppyx2)0(2ppyx2Ryx,0)0,0(Ryx,0Rxy,0Rxy,0)0,0()0,0()0,0(关于x轴对称，无对称中心关于x轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心关于y轴对称，无对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2y2=2pxxyo·FlAB通径：过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB),2(),2(ppBppA、长为2pP越大，开口越阔5.抛物线通径长为2p方程图形焦半径y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxO02px02px02py02pylFyxO6.抛物线的焦半径公式2||)0,2(),()0(21112pxPF，pFyxPppxy且半径的距离称为抛物线的焦到焦点上任意一点抛物线过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，焦点弦AB具有如下性质.12222121221;sin2,3,;41124;5;6790pABxxpABpyypxxAFBFpABAMFBMFDFC有最小值为通径长2p;以为直径的圆与抛物线的准线相切),(22yxB，),(11yxA⒈过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点．若，则|AB|=___________xy42621xx⒉过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则此弦长为________；一条焦点弦长为16，则弦所在的直线倾斜角为_________．xy12243⒊过抛物线的对称轴上有一点M(p,0)，作一条直线与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为，则B点纵坐标为________)0(22ppxy2p824pxxAB21||焦点弦长与对称轴的夹角）为直线其中焦点弦长ABpAB(sin2||2323或4p22122220222)(pyypykpypxypxky由m练习：【名师点睛】直线与抛物线的位置关系的判定设直线方程Ax＋By＋C＝0与抛物线方程y2＝2px(p＞0)联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋l＝0.直线与抛物线方程特征公共点个数位置关系m＝01直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交m≠0，Δ＞02相交m≠0，Δ＝01相切m≠0，Δ＜00相离提醒直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点．3．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解析(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.考向三[142]直线与抛物线位置关系(2013·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．【尝试解答】(1)如图①，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42.化简得，y2＝8x(x≠0)．图①当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明：如图②，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋640.图②由根与系数的关系得，x1＋x2＝8－2bkk2，①x1x2＝b2k2.②∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴y1x1＋1＝－y2x2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①②代入③并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)．