高考二轮必修导学案 专题9 直线与圆导学案 教师版

专题9直线与圆班级学号姓名【高考趋势】直线与圆是解析几何中的最基本的内容，直线和圆的性质以及直线与圆的位置关系是高中数学的重要内容之一，在高考中常以填空题的形式考查，总之，直线与圆的试题注重基础，考查能力，注重数形结合思想，函数思想，转化与化归等数学思想方法的应用，以及与圆锥曲线综合考查等特点。【考点展示】1.已知32fxxaxb＝＋－，如果fx的图象在切点12P，－处的切线与圆22245xy－＋＋＝相切，那么32ab＋＝________．【答案】7【解析】由题意得1223fab＝－－＝－，又∵2'3fxxa，∴fx的图象在点1,2P处的切线方程为231yax，即350axya＝，∴22324555231aaaa，∴14b，∴327ab＝－，故答案为7.2.2,2上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆2259xy相交”发生的概率为_________【答案】38【解析】由直线ykx与圆2259xy相交得25333441kkk所以概率为333442283.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为2221xy，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是__________．【答案】,33,【解析】设P为直线2ykx上满足条件的点，由题意得0,22,2ClPCPCd有解2|022|2331kkk或4.在平面直角坐标系xOy中,过点(2,0)P的直线与圆O:221xy相切于点T,与圆22()(3)3xay相交于点R,S,且PTRS,则正数a的值为____________.5．在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C:22650xyx相交于不同的两点,AB，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为____________.6.设过点(4,0)P的直线l与圆C：22(1)5xy相交于,AB两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为____________.7.已知圆O：221xy，圆M：22()(4)1xaya。若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为,AB，使060APB，则实数a的取值范围为。8.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:221xy,1O:22(4)4xy,动点P在直线30xyb上,过P分别作圆O,1O的切线,切点分别为A,B,若满足2PBPA的点P有且只有两个,则实数b的取值范围是____________.【样题剖析】题型一求直线与圆的方程例1已知点C为圆2218xy的圆心，P是圆上动点，点Q在圆的半径CP上，且有点1,0A和AP上的点M，满足0.2.MQAPAPAM（1）当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线l与圆221xy相切，与（1）中所求点Q的轨迹教育不同的两点,,FHO是坐标原点，且3445OFOH时，求k的取值范围.【答案】（1）2212xy（2）3232k或2323k【解析】试题分析：（1）MQ中线段AP的垂直平分线，所以222CPQCQPQCQACA，所以点Q的轨迹是以点,CA为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线1122:,,,,lykxbFxyHxy，直线l与圆221xy相切，可得221bk直线方程与椭圆方程联立可得：222124220,0kxkbxb，可得0k，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其3445OFOH即可解出k的范围.试题解析：（1）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，所以222CPQCQPQCQACA所以点Q的轨迹是以点,CA为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，222,1,1acbac故点Q的轨迹方程式2212xy（2）设直线1122:,,,,lykxbFxyHxy直线l与圆221xy相切222111bbkk联立222221{1242202xykxkbxbykxb（）22222221641221821800kbkbkbkk2121222422,1212kbbxxxxkk22121212121OFOHxxyykxxkbxxb2222222222222212212414111212121212kbkkkkkbkkbbkkkkkk所以2223141132324125323232kkkkk或2323k为所求.例2已知动圆过定点0,2R,且在x轴上截得线段MN的长为4，直线:(0)lykxtt交y轴于点Q.(1)求动圆圆心的轨迹E的方程；(2)直线l与轨迹E交于,AB两点，分别以,AB为切点作轨迹E的切线交于点P，若sinPAPBAPBPQAB.试判断实数t所满足的条件，并说明理由.【答案】(1)24xy；(2)1t.【解析】试题分析：（1）根据垂径定理列出动圆圆心满足的条件，化简可得轨迹方程；（2）由sin2APBPAPBAPBPQABS,得PQAB,再利用导数几何意义得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，解方程组可得P点坐标，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理化简等量关系得210kt，解得1t.试题解析：(1)设动圆圆心的坐标为,xy，半径r，(0)r，∵动圆过定点02R（，），且在x轴上截得线段MN的长为4，∴222222{4xyryr，消去r得24xy，故所求轨迹E的方程为24xy；(2)实数t是定值，且1t，下面说明理由，不妨设112212,,,,AxyBxyxx，00,Pxy，由题知0,1Q，由2{4ykxtxy，消去y得2440xkxt，∴12124{4xxkxxt，轨迹E在A点处的切线方程为1111:2xlyyxx，即21124xxyx，同理，轨迹E在B处的切线方程为2221:24xxlyx，联立12,ll：的方程解得交点坐标1212,24xxxxP，即2,Pkt，由sin2APBPAPBAPBPQABS,得PQAB,即0PQAB,2,2PQkt，222121,4xxABxx，∴2221212204xxkxxt，即21210kxxt，则210kt，则1t，故实数t是定值，且1t.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.题型二圆的综合问题例3已知点P是圆1F：2218xy上任意一点，点2F与点1F关于原点对称，线段2PF的垂直平分线与1PF交于M点.（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点10,3G的动直线l与点M的轨迹交于,AB两点，在y轴上是否存在定点Q使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212xy(2)在y轴上存在定点0,1Q，使以AB为直径的圆恒过这个点.【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）直线l的方程可设为13ykx，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得AQBQ即0AQBQ．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．试题解析：解：（1）由题意得12111222|2MFMFMFMPFPFF，∴点M的轨迹C为以12,FF为焦点的椭圆∵222,22ac，∴2222,1abac∴点M的轨迹C的方程为2212xy.（2）当直线l的斜率存在时，可设其方程为13ykx，设1122,,,AxyBxy联立2212{13xyykx可得2291212160kxkx，由求根公式可得121222416,312912kxxxxkk假设在y轴上存在定点0,Qm，使以AB为直径的圆恒过这个点，则AQBQ即0AQBQ∵1122,,,AQxmyBQxmy1212121211 33AQBQxxmymyxxmkxmkx，22222121221818961512110339912mkmmmkxxkmxxmk，由2218180{96150mmm解得1m∴在y轴上存在定点0,1Q，使以AB为直径的圆恒过这个点.当直线l的斜率不存在时，经检验可知也满足以AB为直径的圆恒过点0,1Q.因此在y轴上存在定点0,1Q，使以AB为直径的圆恒过这个点.例4已知圆O:224xy和点(1,)Ma,(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;(2)若2a,过点M的圆O的两条弦AC.BD互相垂直,求ACBD的最大值.例5.已知圆O的方程为221xy,直线1l过点(3,0)A,且与圆O相切.(1)求直线1l的方程;(2)设圆O与x轴相交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为2l,直线PM交直线2l于点P',直线QM交直线2l于点'Q.求证:以''PQ为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.总结提炼1.求曲线的基本量是解析几何的一个基本问题，通常可以通过所给的基本量以及相关的几何性质，通过待定系数法等方法求得。2.用代数方法解决几何问题的过程渗透了数形结合的思想，方程的思想，以及等价转化的思想。专题9直线与圆班级学号姓名【自我测试】1．已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】解析：因圆的圆心坐标为，由题设可知圆心到直线的距离，解之得，则实数的取值范围是，应填答案。2.点AB、分别为圆22:31Mxy与圆22:384Nxy上的动点，点C在直线0xy上运动，则ACBC的最小值为__________．【答案】7【解析】1CACM，2CBCN，所以3CACBCNCM，M关于0xy的对称点为'3,0M，故''10CNCMCNCMNM，当且仅当,,'NCM三点共线时等号成立，故CACB的最小值为7．点睛：圆中的最值问题往往转化动点与圆心的距离问题，本题中CACB可以转化为3CNCM，再利用对称性求出CNCM的最小值即可．3.已知P是圆224xy上一点，且不在坐标轴上，2,0A，0,2B，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则2ANBM的最小值为__________．【答案】8【解析】设点2cos,2sinP，则直线PA的方程：sin2cos