3.2.2用向量的方法求二面角

课题：利用向量方法求二面角四、教学过程的设计与实施lABO2、如何作二面角α—l—β的平面角？温故知新从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做，这两个半平面叫做.二面角二面角的棱二面角的面1、二面角的定义：BSACD与面如图，是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA,1所成的二面角的余弦值。,21求面SCDSABABCD你能找到所求二面角的棱吗？探究新知问题：二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系？l1n2n21,nn探究新知21,nn探究新知•问题：法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补。•再次演示课件探究新知细心想一想，你将有新发现！！尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析即〈m,n〉=45°，其补角为135°.∴两平面所成二面角为45°或135°.C练一练,22211||||,cosnmnmnm例1．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1，(1)求二面角C—DE—C1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值．结论：利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：建立坐标系找点坐标求法向量坐标求两法向量夹角定值例2：如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．练习：若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A—PB—C的余弦值．2小结：1.利用法向量求二面角大小的优势：避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。2.利用法向量求二面角大小的关键：确定相关平面的法向量。3.利用法向量求二面角大小的缺点：计算量相对比较大。,2,4,ABCBSAABCSABCABMNABBCSNMA是以为直角的直角三角形。平面、分别是、的中点。求二面角的余弦值。当堂检测BSACD与面如图，是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA,1所成的锐二面角的余弦值。,21求面SCDSABABCD例题精讲【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性BSACD解：xyz则设),,(zyxn是面SCD的法向量，,DCn与面如图，ABCD是直角梯形，,90BADABC,ABCDSA面又ADBCABSA,1所成的二面角的余弦值。,21求面SCDSAB,xyzA建立如图所示的空间直角坐标系A),0,0,0(D),0,0,21(C),0,1,1(S),1,0,0(.SDn),1,0,21(SD),0,1,21(DC则启示：求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。)0,0,21(AD是平面SAB的法向量，SABAD面||||,cosnADnADnADnAD,就是二面角的平面角，所求锐二面角的余弦值为：36BSACDxyz令z=1解之得12yx021021zxyx)1,1,2(n366211结论：利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：建立坐标系找点坐标求法向量坐标求两法向量夹角定值正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值．巩固练习：xyz。ADQAAAnAAnAAn），，（AAADQAAADQAAnzyxyxzx），，（DQ），，（DADQn，DAnzy（xnDQAQAAD，D：3232214112,cos200)1,21,1(1,21,102022021202),,,)0,2,1(),2,0,2(),0,0,2(),0,0,0(11111111111的平面角的余弦值是二面角平面是锐角观察图形可知二面角的的一个法向量是平面平面令则的一个法向量设平面则角坐标系空间直为原点建立如图所示的以解小结：1.利用法向量求二面角大小的优势：避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。2.利用法向量求二面角大小的关键：确定相关平面的法向量。3.利用法向量求二面角大小的缺点：计算量相对比较大。课后思考（2009·天津理，19）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE;(3)求锐二面角A—CD—E的余弦值.(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得B(1,0,0),C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，AD21).21,1,21(M.2122100||||,cos),1,1,0(),1,0,1(DEBFDEBFDEBFDEBF于是所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明.,.00),0,2,0(),1,0,1(),21,1,21(ADCEAMCEADCE，AMCEADCEAM因此可得由又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(3)解设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)，令x=1,可得u=(1,1,1).又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1).因为二面角A—CD—E为锐角，所以其余弦值为.0,0.0,0zyzxDECE于是则uu.3313100||||,cos,vuvuvu所以.33课后作业：第111页A组：6、8•谢谢