3.2.3 直线的一般式方程

3．2.3直线的一般式方程3.2.3│三维目标三维目标【知识与技能】(1)明确直线方程一般式的形式特征．(2)会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距．(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式．【过程与方法】学会用分类讨论的思想方法解决问题．【情感、态度与价值观】(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)用联系的观点看问题．3.2.3│重点难点重点难点•【重点】•直线方程的一般式与各种形式的互化．•【难点】•对直线方程一般式的理解与应用．3.2.3│教学建议(1)根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次．(2)引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化，渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A，B，C的几何意义，渗透数形结合的数学思想．教学建议3.2.3│教学建议(3)对于直线的一般式方程，应引导学生从几何与代数两个角度看待二元一次方程：在代数中研究方程，着重研究方程的解；建立直角坐标系后，二元一次方程的每一个解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的解集，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线．3.2.3│新课导入【导入一】问题导入直线的方程都可以写成关于x，y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？[解析]当直线l经过点P0(x0，y0)，斜率为k时，直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x－x0＝0.故直线的方程不一定能写成关于x，y的二元一次方程．反之关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．新课导入3.2.3│新课导入【导入二】情景导入、展示目标．直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围．点斜式：已知直线上一点P1(x1，y1)的坐标，和直线的斜率k，则直线的方程是y－y1＝k(x－x1)．斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的截距b，则直线方程是y＝kx＋b.两点式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，则直线的方程是.截距式：已知直线在x，y轴上的截距分别为a，b(ab≠0)，则直线的方程是.3.2.3│预习探究预习探究►知识点直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程_______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的_____________．五点说明：(1)对于直线方程Ax＋By＋C＝0，若A≠0，则方程可变为x＋BAy＋CA＝0，只需确定________与__________的值；若B≠0，则方程可变为ABx＋y＋CB＝0，只需确定________与________的值．因此，只要给出两个独立的条件就可求出直线的方程．Ax＋By＋C＝0一般式方程BACBCAAB3.2.3│预习探究(2)直线方程的其他形式都可化为一般式，解题时如果没有其他说明一般把最后结果化为一般式，但并不是所有的一般式都可化为其他形式．例如当C＝0时，一般式就不能化为截距式．在解题时，有时把一般式化为其他形式可以直观地得到一些量，如将一般式化为斜截式就可直接从方程中得到斜率和纵截距．(3)一般式化为斜截式的步骤：移项，得By＝－Ax－C；当B≠0时，得y＝____________．－ABx－CB3.2.3│预习探究(4)若A，B全不为0，则表示与两坐标轴都________的直线．将其化为截距式的步骤：把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；当C≠0时，方程两边同时除以－C，得Ax－C＋By－C＝1，即____________________．(5)在一般式Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)中，若A＝0，则y＝________，它表示一条与y轴垂直的直线；若B＝0，则x＝________，它表示一条与x轴垂直的直线．相交x－CA＋y－CB＝1－CB－CA3.2.3│预习探究[思考]直线的一般式方程与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？解：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程都不能表示与x轴垂直的直线．3.2.3│备课素材备课素材1．直线方程的一般式向其他形式的转化形式方程转化条件一般式Ax＋By＋C＝0斜截式y＝－ABx－CBB≠0点斜式y－－CB＝－AB(x－0)B≠0截距式x－CA＋y－CB＝1A、B、C均不为零3.2.3│备课素材2.一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)表示特殊的直线时，系数满足的条件．特殊直线系数满足的条件垂直于x轴B＝0垂直于y轴A＝0与x、y轴都相交A·B≠0过原点C＝0考点类析►考点一求直线的一般式方程3.2.3│考点类析例1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．①斜率是－12，且经过点A(8，－6)的直线方程为____________；②经过点B(4，2)，且平行于x轴的直线方程为__________________；③在x轴和y轴上的截距分别是32和－3的直线方程为__________________；x＋2y＋4＝0y－2＝02x－y－3＝03.2.3│考点类析④经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为__________________．x＋y－1＝0D[解析]直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，∵所求直线过点A且斜率为－12，∴所求直线的方程为y＋2＝－12x，即x＋2y＋4＝0.(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转π2所得的直线方程是()A．x－2y＋4＝0B．x＋2y－4＝0C．x－2y－4＝0D．x＋2y＋4＝0►考点二利用直线的一般式方程研究平行或垂直3.2.3│考点类析例2(1)如果直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行，则a＝()A．0B.16C．0或1D．0或16(2)已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝________；当l1∥l2时，m＝________．[答案]D01►考点三直线的一般式方程的应用3.2.3│考点类析例3已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，若直线l′与l垂直，且l′与坐标轴围成的三角形面积为6，则直线l′的方程为__________________________________．4x－3y＋12＝0或4x－3y－12＝0【变式】若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝________．3.2.3│考点类析1[解析]将x＝0代入直线方程，得y＝2，因为直线l在x轴和y轴上的截距相等，所以点(2，0)也在直线上，将(2，0)代入直线方程，得a＝1.[小结]解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．【拓展】设坐标平面内两点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A．(－∞，－52]∪[43，＋∞)B．(－43，52)C．[－52，43]D．(－∞，－43]∪[52，＋∞)3.2.3│考点类析3.2.3│考点类析B[解析]由题意得，直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，∵kMA＝3－（－2）－2－0＝－52，kMB＝2－（－2）3－0＝43，由图可知，若直线与线段AB没有交点，则－a－52且－a43，∴a∈－43，52.3.2.3│备课素材备课素材1．求直线的一般式方程的关键是选准合适的方程形式，最后化成一般式，对于一般式方程，x的系数一般为非负数且x，y的系数不要有分数．[例]直线过点P43，2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．3.2.3│备课素材解：(1)设直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，由题意可知，a＋b＋a2＋b2＝12.①又∵直线过点P43，2，∴43a＋2b＝1.②由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得a＝4，b＝3或a＝125，b＝92，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或5x12＋2y9＝1，即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.3.2.3│备课素材(2)设直线方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，由题意可知ab＝12，43a＋2b＝1，整理得a2－6a＋8＝0，解得a＝4，b＝3或a＝2，b＝6，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x2＋y6＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在这样的直线，同时满足(1)(2)两个条件的直线方程为3x＋4y－12＝0.3.2.3│备课素材2．与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件列方程求出C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列方程求出C2.[例]求平行于直线2x－y＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程．解：设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，令y＝0，得x＝－c2，令x＝0，得y＝c，所以12－c2·c＝9，c＝±6，故所求直线的方程为2x－y±6＝0.当堂自测1．若直线3x＋y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则()A．k＝3，b＝6B．k＝－3，b＝－6C．k＝－3，b＝6D．k＝3，b＝－63.2.3│当堂自测B[解析]化为斜截式，得y＝－3x－6，∴k＝－3，b＝－6.2．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.2.3│当堂自测D[解析]把直线方程变为y＝2x＋1，可知直线经过第一、二、三象限．3.2.3│当堂自测3．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为________．3[解析]由已知得2m2－5m＋2m2－4＝1，m2－4≠0，∴m＝3.3.2.3│当堂自测4．已知直线Ax＋By＋C＝0.(1)系数为何值时，方程表示通过原点的直线；(2)系数满足什么关系时，直线与坐标轴都相交；(3)系数满足什么条件时，直线只与x轴相交；(4)系数满足什么条件时，直线表示x轴．解：(1)把原点(0，0)代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0；(2)此时斜率存在且不为零，即A≠0且B≠0；(3)此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B＝0且C≠0；(4)A＝C＝0，且B≠0.3.2.3│备课素材备课素材一、归纳感悟1．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都可以化为一般式方程，反之，一般式方程也可以化为其他四种形式．2．与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情况．常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”，解决此类问题，要先考虑零截距情况，注意分类讨论思想的运用．二、下节课预习问题：1．方程组的解法及两直线的交点的求法．2．两点间的距离公式．