3.2.3 立体几何中的向量方法三)

ZPZ空间“角度”问题知识与技能:1）理解并掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般方法（“三步曲”）。2）了解如何利用已知条件适当的建立坐标系，初步体会向量法和坐标法的优越性.过程与方法:1）经历向量法解决立体几何相关问题的一般过程，初步认识向量方法解决立体几何问题的优势。2）在解题过程中，让学生领悟类比思想在解题中的应用。3）在解题中融入数学建模思想，增强学生的应用的意识，提高学生的抽象概括能力。情态与价值:1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点。2）培养学生勇于探索、不断发现新知识的精神。3）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。教学重点：理解并掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤。（“三步曲”）教学难点：建立空间图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）向量的有关知识：两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉两向量夹角公式：cos〈a,b〉=baba直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解:6CA,4AB,8BD且,CAABBDAB,,120CABD∵CDCAABBD∴2222222CDCAABBDCAABABBDCABD2221648002682=68∴217CD答:CD的长为217.注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.二面角的平面角①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABlCDlCDABl,,,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaAC，，，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB进行向量运算222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDABDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB因此.cos22222dcbaabABCD图3所以.2cos2222abdcba回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图322)(DBCDACAB由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB分析：cos2222abbca∴可算出AB的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCDAd，，，cba21212)(CCACABCAd则cos)(2222acbcabbca)(2cos2222acbcabcbad（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？aA1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。cossin1aBFAEaCFEA，则CFEAFCEAcoscoscos11，，||||11CFEACFEA221sin)()(aBFCBAEAA2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaacos1cos∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。空间“夹角”问题1.异面直线所成角设直线,lm的方向向量分别为,ablamlamb若两直线所成的角为,则,lm(0)2≤≤cosabab例2090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F11304.105342所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010练习：在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM1(0,8,4),AD10AMAD＝1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABlCDlCDABl,,,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角Lnm将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小＝〈〉mn，lnm,nm,2、二面角若二面角的大小为,则l(0)cos.uvuv②法向量法例2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0,,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),,0(1baB解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故),21,23(1baaAB),,0(1baBC11,ABBC2211102ABBCab22ba则可设=1，，则B(0,1,0)a22b)0,41,43(D)22,0,0(1CyxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小1BCCE1BCDFFDEC,CBCD1在中，即E分有向线段的比为BCCRt121222211abBCCCEBECBC12112(0,,)33E12(0,,)33EC由于且，所以ACBDABCCC面1DCBD1在中，同理可求BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FD∴cos〈〉=FDEC,22463341FDECFDEC∴即二面角的余弦值为CBCD122yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中1CCB设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm同法一，可求B(0,1,0))0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴nyxzCADBC1B1A1由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m二面角的大小等于〈〉CBCD1nm,∴∴cos〈〉=nm,22233nmnm即二面角的余弦值为CBCD122方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角nm1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1巩固练习B1A1C1D1DCBAOM212)0,20(21ABn221212.线面角设n为平面的法向量，直线AB与平面所成的角为，向量与n所成的角为，则1AB2n而利用可求，从而再求出21nABnAB2cos2.线面角uaula设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的角为(),则aul02≤≤sinauau以观察为起点，以问题为主线，由简入深，通过问题的不断深入，引导学生进行探究，既突出重点，又分散难点。用多媒体辅助教学，使学生从直观上领会知识的形成，方法的引进。增强学生的学习兴趣，让教学思路更加清晰。多种方法在同一题目中的灵活应用，有助于激发学生的好奇心和求知欲，同时也促进了学生的创造性思维的培养。