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考点一代数式求值课前双基巩固1.直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值.2.整体代入法:(1)观察已知条件和所求代数式的关系;(2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系,一般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法;(3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值.考点聚焦1.整式单项式多项式提示:单独的一个数字或者字母是①式,-2x2y+3xyz2-1是②次③项式.2.同类项的两个要素:④相同;⑤也相同.提示:同类项与系数无关,与字母排序无关;几个常数项也是同类项.考点二整式的有关概念课前双基巩固单项四三所含字母相同字母的指数课前双基巩固考点三整式的运算1.整式的加减:如果遇到括号,先去括号,再合并同类项.2.幂的运算性质(1)同底数幂的乘法性质:am·an=①(m,n都是正整数);(2)幂的乘方的性质:(am)n=②(m,n都是正整数);(3)积的乘方的性质:(ab)n=③(n为正整数);(4)同底数幂的除法性质:am÷an=④(a≠0,m,n都是正整数).提示:在具体解题中,有时需要逆用以上运算性质,比如逆用积的乘方性质,得anbn=(⑤)n.am+namnanbnam-nab课前双基巩固3.整式的乘法(1)单项式与单项式相乘:把它们的系数、同底数幂⑥,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘:m(a+b+c)=⑦.(3)多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=⑧.(4)乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=⑨;完全平方公式:(a±b)2=⑩.4.整式的除法(1)单项式除以单项式:把系数与同底数幂,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式:先把这个多项式的分别除以单项式,再把所得的商相加.分别相乘ma+mb+mcma+mb+na+nba2-b2a2±2ab+b2分别相除每一项课前双基巩固考点四因式分解项目内容因式分解的一般步骤一提(提公因式),二用(运用公式)因式分解的常用公式a2-b2=①a2±2ab+b2=②提示及注意事项(1)因式分解与整式乘法互为逆变形;(2)因式分解的结果为③的形式,且分解应彻底(a+b)(a-b)(a±b)2整式乘积课前双基巩固对点演练题组一必会题1.[2018·大兴检测]下列运算正确的是()A.(2a2)3=6a6B.a3·a2=a5C.2a2+4a2=6a4D.(a+2b)2=a2+4b2[答案]B课前双基巩固2.[2018·朝阳期末]下列各式中,从左到右的变形属于因式分解的是()A.a(a+b-1)=a2+ab-aB.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=-(2a+3b)(2a-3b)D.2x+1=x2+1𝑥[答案]C课前双基巩固3.[2018·石景山期末]若-10x7y与5x4m-1y是同类项,则m的值为.4.[2018·西城期末]化简:(a+4)(a-2)-a(a+1)=.5.[2018·西城期末改编]分解因式:(1)5a2+10ab=;(2)mx2-12mx+36m=.[答案]3.24.a-85.(1)5a(a+2b)(2)m(x-6)2课前双基巩固题组二易错题【失分点】同底数幂的乘法与幂的乘方计算时易混淆;积的乘方含有实数时容易忽略实数乘方;因式分解不彻底.6.下列各式计算正确的是()A.a2+2a3=5a5B.a·a2=a3C.a6÷a2=a3D.(a2)3=a57.计算(2xy2)3的结果为.8.分解因式:3x2-6x+3=.[答案]6.B7.8x3y68.3(x-1)2高频考向探究探究一代数式的书写例1[2017·西城一模]某商店举行促销活动,其促销的方式是“消费超过100元时,所购买的商品按原价打8折后,再减少20元”.若某商品的原价为x元(x100),则购买该商品实际付款的金额(单位:元)是()A.80%x-20B.80%(x-20)C.20%x-20D.20%(x-20)[答案]A高频考向探究拓考向1.[2017·怀柔二模]某企业今年1月份产值为x万元,2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%,则3月份的产值是()A.(1-10%)(1+15%)x万元B.(1-10%+15%)x万元C.(x-10%)(x+15%)万元D.(1+10%-15%)x万元[答案]A高频考向探究2.[2018·朝阳期末]李老师用长为6a的铁丝做了一个长方形教具,其中一边长为b-a,则另一边的长为()A.7a-bB.2a-bC.4a-bD.8a-2b[答案]C高频考向探究3.[2018·怀柔期末]如图3-1,正方形的边长为a,圆的直径是d,用字母表示图中阴影部分的面积为()图3-1A.a2-2dπB.a2-d2πC.a2-12d2πD.a2-𝑑22π[答案]D高频考向探究4.[2018·朝阳综合练习(一)]赋予式子“ab”一个实际意义:.5.[2018·东城期末]如图3-2(图中长度单位:m),阴影部分的面积是m2.图3-2[答案]4.答案不唯一,如:边长分别为a,b的矩形面积5.(x2+4x+20)高频考向探究探究二整式的运算及其化简求值例2[2017·海淀二模]下列计算正确的是()A.2a-3a=aB.(a3)2=a6C.-2𝑎=-2×𝑎D.a6÷a3=a2[答案]B高频考向探究明考向1.[2015·北京18题]已知2a2+3a-6=0,求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.解:原式=6a2+3a-(4a2-1)=6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1.∵2a2+3a-6=0,∴2a2+3a=6,∴原式=6+1=7.高频考向探究2.[2014·北京16题]已知x-y=3,求代数式(x+1)2-2x+y(y-2x)的值.解:原式=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1,把x-y=3代入得,原式=3+1=4.高频考向探究拓考向3.[2018·东城二模]如果3a2+5a-1=0,那么代数式5a(3a+2)-(3a+2)(3a-2)的值是()A.6B.2C.-2D.-64.[2018·玉林]已知ab=a+b+1,则(a-1)(b-1)=.[答案]3.A4.2[解析]原式=ab-a-b+1=a+b+1-a-b+1=2.高频考向探究5.[2017·西城二模]已知x2-3x-4=0,求代数式(x+1)(x-1)-(x+3)2+2x2的值.解:(x+1)(x-1)-(x+3)2+2x2=x2-1-x2-6x-9+2x2=2x2-6x-10.当x2-3x-4=0时,原式2(x2-3x)-10=-2.高频考向探究6.[2017·东城二模]小明化简(2x+1)(2x-1)-x(x+5)的过程如图3-3.请指出他化简过程中的错误,写出对应的序号,并写出正确的化简过程.解:原式=2x2-1-x(x+5)……①=2x2-1-x2+5x……②=x2+5x-1.……③图3-3解:错误的步骤是①和②.正确的化简过程如下:原式=4x2-1-x(x+5)=4x2-1-x2-5x=3x2-5x-1.高频考向探究探究三根据图形得出等式例3[2017·海淀一模]图3-4中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式:.图3-4[答案](m+a)(m+b)=m2+am+bm+ab高频考向探究明考向1.[2016·北京12题]图3-5中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式:.图3-5[答案]am+bm+cm=m(a+b+c)高频考向探究拓考向2.[2018·房山一模]如图3-6,正方形ABCD,根据图形,写出一个正确的等式:.图3-6[答案](a+b)2=a2+2ab+b2高频考向探究3.[2017·顺义一模]如图3-7所示的四边形均为矩形或正方形,根据图形的面积,写出一个正确的等式:.图3-7[答案](a-b)2=a2-2ab+b2(答案不唯一)高频考向探究4.[2017·丰台一模]图3-8中的四边形均为矩形,根据图形的面积关系,写出一个正确的等式:.图3-8[答案](m+n)(a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc高频考向探究探究四因式分解例4[2017·东城二模]请你写出一个多项式,使它含有字母a,并在有理数范围内能够用平方差公式进行因式分解,此多项式可以是.[答案]答案不唯一,如,a2-1[方法模型]因式分解时应注意以下几点:(1)如果多项式的首项系数为负,一般要提出负号,使括号内的第一项的系数为正;(2)要分解到每一个因式都不能再分解为止;(3)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.高频考向探究明考向1.[2015·北京11题]分解因式:5x3-10x2+5x=.2.[2014·北京9题]分解因式:ax4-9ay2=.3.[2013·北京9题]分解因式:ab2-4ab+4a=.[答案]1.5x(x-1)22.a(x2-3y)(x2+3y)3.a(b-2)2高频考向探究拓考向4.[2018·海淀期末]已知x2-8x+a可以写成一个完全平方式,则a可为()A.4B.8C.16D.-165.[2018·河北]将9.52变形正确的是()A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.52[答案]4.C5.C高频考向探究6.[2018·东城一模]分解因式:m2n-4n=.7.[2018·海淀二模]分解因式:3a2+6a+3=.[答案]6.n(m+2)(m-2)7.3(a+1)2高频考向探究探究五探究数(式)规律例5[2019·预测]填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值为()图3-9A.180B.182C.184D.186[答案]C[解析]观察所给四个正方形可知,1+14=3×5,3+32=5×7,5+58=7×9,故11+m=(11+2)×(11+4),解得m=184.高频考向探究拓考向1.观察下列数的特点:0,1,-4,9,-16,25,…,则第11个数是()A.-121B.-100C.100D.121[答案]B[解析]本组数的第n个数的绝对值是(n-1)2,从第三个数开始,奇数个时为负,偶数个时为正,故第11个数是负数,绝对值是102=100,即-100.高频考向探究2.观察下列各式:21×3=11-13,22×4=12-14,23×5=13-15,……请利用你所得的结论,化简代数式21×3+22×4+23×5+…+2𝑛(𝑛+2)(n≥3且n为整数),其结果为.[答案]3𝑛2+5𝑛2(𝑛+1)(𝑛+2)[解析]由这些式子可得规:2𝑛(𝑛+2)=1𝑛-1𝑛+2.因此,原式=11-13+12-14+13-15+…+1𝑛-1-1𝑛+1+1𝑛-1𝑛+2=11+12+13+…+1𝑛-1+1𝑛-13-14-15-…-1𝑛+1-1𝑛+2=11+12-1𝑛+1-1𝑛+2=3𝑛2+5𝑛2(𝑛+1)(𝑛+2).