圆锥曲线秒杀法

圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C：x²/8+y²/2=1与斜率K=1/2的直线l相切，则切点坐标为________注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C：x²/8+y²/2=1求关于X导数可得x/4+yy'=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和(2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x'(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K'=2K=1，椭圆化为圆C':x'²+y'²=2;很容易求得I'与C'相切于(-1,1)和(1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和(2,-1)2、椭圆C：x²/4+y²/3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:______法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离，l'=x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x²/4+y²/3)（4+12）≥(x-2y)²;-4≤b≤4;把4和-4代入l'；再利用平行线距离公式求I和l'距离，最大距离为所以0≤d≤法二、缩放坐标系椭圆和直线相交，最小距离为0，最大距离为椭圆C与l平行的切线l'与l的距离。l'=x-2y+b=0；缩放y=√3/2y'；椭圆C缩放后方程C'为:x²+y²=4；l'缩放后表达式为l''=x-√3y+b=0,C'与l''相切，利用点到直线距离为半径，容易求的b=4和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为0≤d≤3、过定点(4、0)的直线l与椭圆C：x²/4+y²=1有公共点，则直线l斜率K取值范围为:______法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,则x-my=4;构造柯西不等式，(x²/4+y²)（2²+m²）≥(x-my)²可得，m²≥12,注意是反设斜率，故k=1/m;很容易解出k的范围为-√3/6≤k≤√3/6法二、缩放坐标l:my=x-4，x=2x'C':x'²+y'²=1;I':my'=2x'-4,用点到直线距离公式，d=4/√(4+m²)≤1；可解的m²≥12,注意是反设斜率，故k=1/m;很容易解出k的范围为-√3/6≤k≤√3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。柯西不等柯西不等式---[方和积不小于积和方]1212120当且仅当或时取等nnnaaabbbbbb柯西不等式的主要变形公式变形公式1222222112211221212nnnnnnababababababaaabbb取等条件同变形公式2211221212nnnnabababaaabbb112211221212nnnnnnababababababaaabbb变形公式322222222212121122nnnnaaabbbababab柯西不等式三角公式变形公式4222212121212nnnnaaaaaabbbbbb取等条件同变形公式521212121122nnnnnaaaaaabbbababab取等条件同222222212121122nnnnaaabbbababab三、仿射四、参数方程椭圆参数方程吴磊一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑x=acosθ；y=bsinθ是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗?θ究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中θ是一个意思吗?1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开例1、P是椭圆C上一点:x=4cosθ;y=2√3sinθ且在第一象限O（O为原点）P的倾斜角为π/3，则P点的坐标为_________经典错法:因为倾斜角为π/3，x=4cosθ;y=2√3sinθ，所以x=4cosπ/3=2;y=2√3sinπ/3=3求得P坐标（2、3）正解:椭圆参数方程θ是旋转而成的圆心角而不是倾斜角因为OP的倾斜角为π/3，故OP的斜率K=tanπ/3=√3；√3=y/x2√3sinθ/4cosθ=√3(1)sinθ²+cosaθ²=1(2)联立二式，P在第一象限，可解cosθ=√5/5sinθ=2√5/5P点坐标为(4√5/5、4√15/5)2、椭圆参数方程的推导和含义解释3、椭圆参数方程的设法可能有的同学会按照焦点在X轴:x=acosθ；y=bsinθ焦点在Y轴:x=bcosθ；y=asinθ去记忆，老师告诉你别这么理解，你只要记住cosθ对应的系数是a和b中大的，cos和扩大谐音，参数方程还原主要看cosθ前的系数，它一定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个下面。二、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题例1:解:可设A(10cosθ；8sinθ)，利用对称性可知B(10cosθ；-8sinθ)C(-10cosθ；-8sinθ)；D(-10cosθ；8sinθ)AB长度为16sinθ；AD长度为20cosθ，矩形面积S=160sin2θ，由三角函数知识可知，面积最大为160例2：解:要使SOAPB最大，由图可知SOAB为定值，需求出P到直线AB距离，距离最大时SBPA最大，从而SOAPB最大，用椭圆参数方程设P为x=acosθ；y=bsinθ直线AB的方程为:x/a+y/b=1用P到AB的距离公式可以求得距离最大为ab(√2-1)2,SOAPB=ab√2/22、椭圆相关距离问题例1:解:用椭圆参数方程设P为x=2cosθ；y=sinθ；A(0,3/2)由点到距离公式可知AP最大为5/2,所以PQ最大值为3例2:椭圆约束下二次型最值问题解:用椭圆参数方程解，转化成三角函数最值问题。由于b²和4大小未知，显然需要分类讨论0﹤b﹤2，时P(x=2cosθ；y=bsinθ),转化成求4cos²θ+2bsinθ最大值可求得最大值为(b²/4)+4b≥2P(x=bcosθ；y=2sinθ),转化成求b²cos²θ+4sinθ最大值可求得最大值为2b3、椭圆与向量求范围、求值问题例1已知椭圆E：,A在E上（1,1/2），若点P在E上满足（1）求t的范围（2）过原点O的直线交E于BC，求S△BCA的最大值解:Smax=√2五、极点极线圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力。掌握有关极点与极线的基本性质，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，做题事半功倍。1.从几何角度看极点与极线定义1如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,EFGH，连接,EHFG交于N，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,AB两点，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.定理1(1)当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；(2)当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为,AB，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；(3)当P在内时，过点P任作一割线交于,AB，设在,AB处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,AB，交l于Q，则PAPBAQBQ①；反之，若有①成立，则称点,PQ调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.PEFGHMANB图1PQA图2Bl推论1如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q，则有211PQPAPB②；反之，若有②成立，则点P与Q关于调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQBQPQPAPBPQPQPQPAPBPAPBPAPB11()2PQPAPB211PQPAPB.特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有2OROPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.证明：设直线PQ与的另一交点为R，则PRPROPOROPORRQRQOROQOROQ，化简即可得2OROPOQ.反之由此式可推出PRPRRQRQ，即点P与Q关于调和共轭.推论3如图4，,AB圆锥曲线的一条对称轴l上的两点(不在上)，若,AB关于调和共轭，过B任作的一条割线，交于,PQ两点，则PABQAB.证明：因关于直线l对称，故在上存在,PQ的对称点,PQ.若P与Q重合，则Q与P也重合，此时,PQ关于l对称，有PABQAB；若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,ABPQR图3RROPlA图4PRBQQR关于调和共轭，故,AB为上完全四点形PQQP的对边交点，即Q在PA上，故,APAQ关于直线l对称，也有PABQAB.定理3(配极原则)点P关于圆锥曲线的极线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2已知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点00(,)Pxy和直线0000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0xx替换2x，以02xx替换x，以0yy替换2y，以02yy替换y即可得到点00(,)Pxy的极线方程.特别地：(1)对于椭圆22221xyab，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；(2)对于双曲线22221xyab，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；(3)对于抛物线22ypx，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00()yypxx.(4)如果圆锥曲线是椭圆22221xyab，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221xyab，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22ypx，当00(,)Pxy为其焦点(,0)2pF时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆15922yx的左右顶点为,AB，右焦点为F．设过点(,)Ttm的直线,TATB与此椭圆分别交于点1122(,),(,)MxyNxy，其中0m，1200yy，．(1)设动点P满足422PBPF，求点P的轨迹；(2)设12123xx，，求点T的坐标；(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略.对于(3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，连MN，设直线AB与MN的交点为K，根据极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过K，又点T对应的极线方程为9195xmy，即15myx，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，从而直线