高三第一轮复习 数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入基础知识1.复数的有关概念(1)定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a叫做_____，b叫做_____.实部虚部(2)分类：满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi为实数⇔_______a+bi为虚数⇔_______a+bi为纯虚数⇔______b=0b≠0a0,b0基础知识(3)复数相等：a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R).(5)模：向量的长度叫做复数z=a+bi的模，记作____或_______，即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).ac,bdac,bd|z||a+bi|22ab基础知识2.复数的几何意义(1)复平面：建立___________来表示复数的平面叫做复平面.(2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_____,y轴叫做_____，实轴上的点都表示_____；除了原点外，虚轴上的点都表示_______.(3)复数的几何表示：复数z=a+bi一一对应复平面内的点______一一对应平面向量____直角坐标系实轴虚轴实数纯虚数Z(a,b)OZ基础知识3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=__________________把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=____________________按照多项式乘法进行，并把i2换成-1(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i基础知识运算名称符号表示语言叙述除法=(c+di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算2222acbdbcadicdcd12abicdizabizcdicdi(cdi)基础知识(2)复数加法的运算律:设z1,z2,z3∈C，则复数加法满足以下运算律:①交换律：z1+z2=_____；②结合律：(z1+z2)+z3=_________.z2+z1z1+(z2+z3)对点演练1.若复数z=m+1+(m2+m-2)i为实数,则实数m的值是.1或-24.若复数z=1+2i,则复数z的模等于.2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是.B3.已知(1+2i)z=4+3i,则z=.2-i𝟓对点演练5.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a=.26.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是.（4，-2）7.若复数z满足2z+z·𝒛-=(2-i)2(i为虚数单位),则z=.-1-2i二、考点探究探究点一复数的有关概念例1(1)已知复数z=1+i,则下列说法中正确说法的个数为()①|z|=𝟐;②Z的共轭复数是1-i;③z的虚部为i;④z在复平面上对应的点在第一象限.A.1B.2C.3D.4(2)复数z=-𝟒+𝐢-𝐢的共轭复数是()A.-1+4iB.-1-4iC.1+4iD.1-4i(3)若复数(1+ai)2-2i(i为虚数单位)是纯虚数,则实数a=()A.0B.±1C.1D.-1CAD二、考点探究探究点一复数的有关概念[总结反思]复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列方程(组)求解.二、考点探究探究点一复数的有关概念1.复数(i是虚数单位)的实部是()(A)(B)-(C)(D)-i12i＋25251515A2.已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)，则|z|=_____.103.设a,b∈R，a+bi=(i为虚数单位)，则a+b的值为______.117i12i8二、考点探究探究点二复数的几何意义例2(1)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)(2)已知(3+𝟑i)·z=-2𝟑i(i是虚数单位),那么复数z对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)设z=1-i(i为虚数单位),若复数𝟐𝒛-z2在复平面内对应的向量为𝑶𝒁(O为坐标原点),则向量𝑶𝒁的模是()A.𝟐B.2C.𝟓D.𝟏𝟎BCD二、考点探究探究点二复数的几何意义对复数几何意义的理解及应用,要注意两点:(1)复数z、复平面上的点Z及向量𝑶𝒁相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔𝑶𝒁=(a,b).(2)根据复数、点、向量之间的一一对应的关系,可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.二、考点探究探究点二复数的几何意义1.设z1=3-4i,z2=-2+3i，则z1+z2在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.已知f(x)=x2,i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限f1i3i二、考点探究探究点三复数的代数运算例3(1)已知i为虚数单位,则i+i2+i3+i4=()A.0B.iC.2iD.-i(2)已知复数z=𝟐-𝐢𝟐+𝐢-𝟐+𝐢𝟐-𝐢,则z=()A.-𝟖𝐢𝟓B.𝟖𝐢𝟓C.-𝟔𝟓D.𝟔𝟓(3)若𝟏+𝒂𝐢𝟐+𝐢=1+2i,则a=()A.-5-IB.-5+iC.5-iD.5+iAAD二、考点探究探究点三复数的代数运算练习：1.复数=()(A)(B)(C)(D)2.复数z满足：(z-i)(2-i)=5,则z=()A-2-2iB-2+2iC2-2iD2+2i2i2i34i5534i5541i531i5AD3.i是虚数单位，复数=()A2+iB2-IC-2+iD-2-i7i3iB