高三第一轮复习 简单的三角恒等变换

第七节简单的三角性等变换基础知识1.半角公式22sin2212sin21cos222cos22cos121cos21cos1cos基础知识2.辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中sinφ=,cosφ=.22ab22bab22aab基础知识3.常见的几种角的变换(1)α=(α+β)-,α=+β.(2)2α=(α+β)+,2β=-(α-β).(3)𝜶+𝜷𝟐=𝜶−𝜷𝟐-𝜶𝟐-𝜷,α=2×𝛂𝟐3.常数的变换(1)1=sin2α+cos2α.(2)1=tan𝛑𝟒.(α-β)β(α-β)对点演练题组一常识题1.[教材改编]sin75°+𝟑cos75°的值是.[解析]sin75°+𝟑cos75°=2𝟏𝟐sin75°+𝟑𝟐cos75°=2(sin30°sin75°+cos30°cos75°)=2cos(75°-30°)=2cos45°=𝟐.对点演练2.[教材改编]函数f(x)=sin22x+𝟏𝟐sin4x(x∈R)的最小正周期是.π23.[教材改编]已知cosα=𝟏𝟑,α∈(π,2π),则cos𝜶𝟐=.-𝟔𝟑4.若tanα=3,则sinαcosα=.𝟑𝟏𝟎题组一常识题对点演练题组二常错题◆索引:忽视角的范围导致出错;用错公式导致出错.5.若sinθ+cosθ=𝟏𝟓,θ∈(0,π),则cos2θ=.6.若sin2α=𝟏𝟒,则sin2α=.7.已知sin2𝜶+𝛑𝟒+cos2𝜶-𝛑𝟒=𝟒𝟑,则sin2α=.8.若sin𝒙-𝟑𝟒𝛑cos𝒙-𝛑𝟒=-𝟏𝟒,则cos4x=.-𝟕𝟐𝟓𝟒±𝟏𝟓𝟖𝟏𝟑𝟏𝟐二、考点探究探究点一三角函数式的化简例1化简下列各式:(1)sin2αsin2β+cos2αcos2β-𝟏𝟐cos2αcos2β;(2)𝟐𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙-𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+𝟏𝟐𝟐𝐭𝐚𝐧𝛑𝟒-𝒙𝐬𝐢𝐧𝟐𝛑𝟒+𝒙.[思路点拨](1)可以考虑将二倍角化为单角,或将“异名三角函数”化为“同名三角函数”;(2)可以考虑降低“次数”,将“切”化“弦”.二、考点探究解:(1)方法一:原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-𝟏𝟐(2cos2α-1)(2cos2β-1)=sin2αsin2β+cos2αcos2β-𝟏𝟐(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-𝟏𝟐=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-𝟏𝟐=sin2β+cos2β-𝟏𝟐=1-𝟏𝟐=𝟏𝟐.探究点一三角函数式的化简二、考点探究探究点一三角函数式的化简方法二:原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-𝟏𝟐cos2αcos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-𝟏𝟐cos2αcos2β=cos2β-sin2αcos2β-𝟏𝟐cos2αcos2β=cos2β-cos2βsin2α+𝟏𝟐cos2α=𝟏+𝐜𝐨𝐬𝟐𝜷𝟐-cos2β𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶+𝟏𝟐(𝟏-𝟐𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶)=𝟏+𝐜𝐨𝐬𝟐𝜷𝟐-𝟏𝟐cos2β=𝟏𝟐.二、考点探究(2)原式=𝟏𝟐(𝟒𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙-𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+𝟏)𝟐×𝐬𝐢𝐧𝛑𝟒-𝒙𝐜𝐨𝐬𝛑𝟒-𝒙𝐜𝐨𝐬𝟐𝛑𝟒-𝒙=(𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙-𝟏)𝟐𝟒𝐬𝐢𝐧𝛑𝟒-𝒙𝐜𝐨𝐬𝛑𝟒-𝒙=𝐜𝐨𝐬𝟐𝟐𝒙𝟐𝐬𝐢𝐧𝛑𝟐-𝟐𝒙=𝐜𝐨𝐬𝟐𝟐𝒙𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙=𝟏𝟐cos2x.探究点一三角函数式的化简二、考点探究[总结反思]三角函数式的化简要注意以下三个方面:(1)“角的关系”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”“弦化切”;(3)“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.探究点一三角函数式的化简二、考点探究变式题(1)化简:𝟏+𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶-𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶𝟏+𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶+𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶=.(2)（𝟏𝐭𝐚𝐧𝜶𝟐-tan𝜶𝟐）𝟏+𝐭𝐚𝐧𝜶𝐭𝐚𝐧𝜶𝟐=.探究点一三角函数式的化简tanα𝟐𝐬𝐢𝐧𝜶二、考点探究探究点二三角函数式的求值考向1给值求值(1)[2017·衡水三模]已知sin𝟑𝛑𝟐+α=𝟏𝟑,则cos(π-2α)的值为()A.𝟕𝟗B.-𝟕𝟗C.𝟐𝟗D.-𝟐𝟑(2)[2017·襄阳四校联考]已知θ∈𝛑𝟐,𝛑,且cosθ-𝛑𝟒=𝟑𝟓,则tan𝜽+𝛑𝟒=.A-𝟑𝟒二、考点探究探究点二三角函数式的求值考向1给值求值[总结反思]给值求值问题的解题技巧:给值求值问题一般是将待求式子化简整理,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相关角的三角函数值,代入即可.二、考点探究探究点二三角函数式的求值考向2给角求值(1)𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝟏𝟎°𝐜𝐨𝐬𝟖𝟎°𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝟎°=.(2)[2017·大庆三模]cos2𝛑𝟏𝟐+sin𝛑𝟏𝟐cos𝛑𝟏𝟐=.𝟐𝟐𝟑+𝟑𝟒[总结反思]给角(非特殊角)求值的3个基本思路:①化非特殊角为特殊角;②化为正负相消的项,消去后求值;③化分子分母使之出现公约数,约分后求值.二、考点探究探究点二三角函数式的求值考向3给值求角（1）已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=𝟏𝟐,tanβ=-𝟏𝟕,求2α-β的值.二、考点探究探究点二三角函数式的求值解:因为tanα=tan[(α-β)+β]=𝐭𝐚𝐧(𝜶-𝜷)+𝐭𝐚𝐧𝜷𝟏-𝐭𝐚𝐧(𝜶-𝜷)·𝐭𝐚𝐧𝜷=𝟏𝟐-𝟏𝟕𝟏+𝟏𝟏𝟒=𝟏𝟑0,所以0α𝛑𝟐.又因为tan2α=𝟐𝐭𝐚𝐧𝜶𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟐𝜶=𝟐×𝟏𝟑𝟏-𝟏𝟑𝟐=𝟑𝟒0,所以02α𝛑𝟐.所以tan(2α-β)=𝐭𝐚𝐧𝟐𝜶-𝐭𝐚𝐧𝜷𝟏+𝐭𝐚𝐧𝟐𝜶𝐭𝐚𝐧𝜷=𝟑𝟒+𝟏𝟕𝟏-𝟑𝟒×𝟏𝟕=1,又由tanβ=-𝟏𝟕0,可知𝛑𝟐βπ,所以-π2α-β0,所以2α-β=-𝟑𝛑𝟒.二、考点探究探究点二三角函数式的求值考向3给值求角[总结反思]解给值求角问题的一般步骤:①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出所求角的大小.二、考点探究探究点二三角函数式的求值强化演练1.【考向1】已知cos𝜽+𝛑𝟒=𝟏𝟎𝟏𝟎,θ∈𝟎,𝛑𝟐,则sin2θ-𝛑𝟑=.𝟒-𝟑𝟑𝟏𝟎2.【考向2】𝐬𝐢𝐧𝟐𝟓𝟎°𝟏+𝐬𝐢𝐧𝟏𝟎°=.𝟏𝟐3.【考向3】若sin2α=𝟓𝟓,sin(β-α)=𝟏𝟎𝟏𝟎,且α∈𝛑𝟒,𝛑,β∈𝛑,𝟑𝛑𝟐,则α+β的值是.𝟕𝛑𝟒二、考点探究探究点三三角恒等式的证明【例4】求证:𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂𝟏𝐭𝐚𝐧𝜶𝟐-𝐭𝐚𝐧𝜶𝟐=𝟏𝟒sin2α.证明:∵左边=𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐𝐬𝐢𝐧𝜶𝟐-𝐬𝐢𝐧𝜶𝟐𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐=𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶𝟐-𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶𝟐𝐬𝐢𝐧𝜶𝟐𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐=𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂𝐬𝐢𝐧𝜶𝟐𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶𝟐-𝐬𝐢𝐧𝟐𝜶𝟐=𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂𝐬𝐢𝐧𝜶𝟐𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐𝐜𝐨𝐬𝜶=cosαsin𝜶𝟐cos𝜶𝟐=𝟏𝟐sinαcosα=𝟏𝟒sin2α=右边.∴原式成立.二、考点探究举一反三4已知0α𝛑𝟒,0β𝛑𝟒,且3sinβ=sin(2α+β),4tan𝜶𝟐=1-tan2𝜶𝟐,证明:α+β=𝛑𝟒.证明:∵3sinβ=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,∴tan(α+β)=2tanα.又∵4tan𝜶𝟐=1-tan2𝜶𝟐,∴tanα=𝟐𝐭𝐚𝐧𝜶𝟐𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟐𝜶𝟐=𝟏𝟐.∴tan(α+β)=2tanα=1.∵α+β∈𝟎,𝛑𝟐,∴α+β=𝛑𝟒.探究点三三角恒等式的证明二、考点探究探究点三三角恒等式的证明方法提炼1.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.2.三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.(2)条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.二、考点探究探究点四辅助角公式的应用【例】已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,𝟑).(1)求sin2α-tanα的值;(2)若函数f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα,求函数y=𝟑𝒇𝛑𝟐-𝟐𝐱-2f2(x)在区间𝟎,𝛑𝟐上的值域.二、考点探究探究点四辅助角公式的应用例已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,𝟑).(1)求sin2α-tanα的值;(2)若函数f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα,求函数y=𝟑𝒇𝛑𝟐-𝟐𝐱-2f2(x)在区间𝟎,𝛑𝟐上的值域.二、考点探究探究点四辅助角公式的应用解:(1)∵角α的终边经过P(-3,𝟑),∴sinα=𝟏𝟐,cosα=-𝟑𝟐,tanα=-𝟑𝟑,∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-𝟑𝟐+𝟑𝟑=-𝟑𝟔.解:(2)∵f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)·sinα=cosx,x∈R,∴y=𝟑cos𝛑𝟐-𝟐𝐱-2cos2x=𝟑sin2x-1-cos2x=2sin𝟐𝒙-𝛑𝟔-1.∵0≤x≤𝛑𝟐,∴-𝛑𝟔≤2x-𝛑𝟔≤𝟓𝛑𝟔,∴-𝟏𝟐≤sin𝟐𝒙-𝛑𝟔≤1,∴-2≤2sin𝟐𝒙-𝛑𝟔-1≤1,∴函数y=𝟑𝒇𝛑𝟐-𝟐𝐱-2f2(x)在区间𝟎,𝛑𝟐上的值域为[-2,1].二、考点探究探究点四辅助角公式的应用练习设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(-x)满足f(-)=f(0).(1)求f(x)的解析式.(2)求函数f(x)在区间［］上的最大值和最小值.2311π,424二、考点探究【规范解答】(1)f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x.由f(-)=f(0)得=-1,解得a=2.因此f(x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-).探究点四辅助角公式的应用33a1222a2336二、考点探究(2)∵x∈［］,∴2x-∈［］.当x∈［］时,2x-∈［］，f(x)为增函数；当x∈［］时,2x-∈［］,f(x)为减函数，所以f(x)在［］上的最大值为f()=2.又因为f()=,f()=,故f(x)在［］上的最小值为f()=.探究点四