高三第一轮复习--抛物线

圆锥曲线---抛物线抛物线2.求抛物线的方程1.考察抛物线定义抛物线题型4.直线与抛物线的关系求直线方程焦点弦中点弦问题3.考察抛物线的性质思想方法：数形结合的思想，化归的思想一.抛物线定义ll抛物线定义：在平面内，到定点F的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。（点F不在上）=FMFMN点：焦点定义定直线：准线1二、抛物线的标准方程把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，其中p为正常数，表示焦点在x轴正半上。p的几何意义是:焦点到准线l的距离焦点坐标F是(,,0)2p2px准线方程l为:xyolFK图形标准方程焦点坐标准线方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0,2p2px2,0p2py2,0p2py二、抛物线的标准方程2222221=4233=8y4=8y546=9yyxyxxxyxx例：xy判断上述抛物线方程中哪些焦点是在轴上，哪些焦点在轴？并判断焦点坐标及准线方程2222221=4223=y114y=256=y416xyyxxxyxx例：xy判断上述抛物线方程中哪些焦点是在轴上，哪些焦点在轴？并判断焦点坐标及准线方程例2根据下列条件求抛物线的标准方程：12,032.2x已知抛物线的焦点坐标是F；已知抛物线的准线方程是212,02428xppyx抛物线的焦点是抛物线的焦点在轴上，且故而抛物线的标准方程为：232233226xxppyx抛物线的准线方程是抛物线的焦点在轴上，且故而抛物线的标准方程为：10,122.y已知抛物线的焦点坐标是F；已知抛物线的准线方程是练习：根据下列条件求抛物线的标准方程：第一类问题：由抛物线定义解题转化思想在定义中的应用：抛物线上点到焦点距离常用定义转化为点到准线的距离.1222pAFACAFxpBFBDBFx12ABAFBFxxpxyOPQF2、过焦点的弦称为：焦点弦1、连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径11(,)PxyPF如图设则12px22(,)QxyPQ如图设则12xxp123xx、24p12yy2p114PFQF、11(,)xy22(,)xy2p2px211.14xayA例若抛物线经过点，，则点A到此抛物线的焦点的距离为_________151445=4AFACACAF由于又212yaxA例2：若抛物线经过点，，则点A到此抛物线的焦点的距离为_________221,2244112=2axAFABABAF代入点A，得则抛物线方程为y由于又21.42xayA练习：若抛物线经过点，，则点A到此抛物线的焦点的距离为_________216yaxA2.若抛物线经过点，-，则点A到此抛物线的焦点的距离为_________242xyA3.若抛物线上一点-8，-，则点A到此抛物线的焦点的距离为_________23.42=_______,_______yxFAFBFOAB例已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于点A,B两点，O是坐标原点，，则三角形的面积是0000,,121,21=41=22AxyxxxAFBFS设点由抛物线定义知则直线AB轴故而三角形面积24.4=5__________xyPMFMPF例已知过抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为，则三角形的面积为=1=45=102PMPFS由抛物线定义知，准线方程为y=-1P点纵坐标为4故而三角形面积21.8=6__________yxPAFAPF练习：已知过抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为A，且，设抛物线的焦点为，则三角形的面积为12224=3__________xyMPMFMPF2.已知过抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则三角形的面积为3223.6,,.433yxFlPPAlAPFA设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，垂足为，如果三角形APF为正三角形，那么等于B.6C.6D.12C总结：化归的思想该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.2将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，使问题得解。1将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离；抛物线定义1.动弦中点到坐标轴距离最短问题强化抛物线定义解题2.距离之和最小问题3.焦点弦中距离之和最小问题21.46,33...1.242xyABABxABCD例已知抛物线上有一条长为的动弦则的中点到轴的最短距离为111111111112632-12AABBMMABAFBFAABBAABBAABBMMMxMM由中位线定理得因为到轴最短距离为角度一.动弦中点到坐标轴距离最短问题角度二.距离之和最小问题212122.4,50,,,______yxlxyydlddd例已知抛物线直线的方程为在抛物线上有一点P到轴的距离为到直线的距离为则的最小值为112222212111+532,1+1321dPFddPFddPFFldd由抛物线定义得易知的最小值即为点到直线的距离，即为所以的最小值为角度三.焦点弦中距离之和最小问题23.4,________yxFABAByCDACBD例已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点，过、分别作轴垂线，垂足分别为、，则的最小值为22422ACBDAEBGABACBDABABABACBDAB由抛物线定义知:即取得最小值时当且仅当取最小值。由抛物线定义知当为通径时最短，即总结：化归的思想该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化.2将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，使问题得解。1将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离；考点三：直线与抛物线的位置关系2.8135,.48oyxFABABA例4过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，则弦的长为B.C.12D.16D韦达定理、中位线定理与抛物线定义的联系221122121112+281240.,,,12416yxyxxxAxyBxyxxABAABBxx解：直线方程为与联立解得：设由抛物线定义得2.122,1,________xyFPABAFBF例5设抛物线的焦点为，经过点的直线l与抛物线相交于两点，又知点P恰为AB的中点，则11128AFBFAABBPP由抛物线定义得：21.=2p(0),1,2.1122yxpABABAxxxx已知抛物线过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为B.C.D.B练习：.1,0,2,2________CFlCABl2已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点.若AB的中点的坐标为，则直线的方程为y=x21122122(0)22,,,91pxpxyBxyxxABOCOAOB例1.已知过抛物线y的焦点，斜率为的直线交抛物线于A两点，且求该抛物线的方程（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若求的值。222122,2245054pyxypxxpxpxxp解：直线AB的方程是=2与联立，从而有122948ABxxppyx由抛物线定义得：，从而抛物线方程为222(2)=4450540122,442pxpxpxxAB由，可简化为从而，，3322332=,1,224,4241,42228,4222=8412141.=0=OCxyyx设又即即解得或2240,1,1829xyFKlCABFAFB例2.已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与相交于两点，点A关于y轴的对称点为D证明：点F在直线BD上；设，求DBK的平分线与y轴的交点坐标。1122111,,,,1xyxyxylykx解：证明：设A,B,D的方程为22121221112121211121440,44,4.440,y1,4ykxxkxxyxxkxxyyBDyyxxxxxxxyxxxxx由得从而直线的方程为即令得所以点F在直线BD上.112221212,1,181184=93443304+3+30FAFBxyxyxxyykklxyxy（2）因为解得的方程为或