高三第一轮复习讲义【3】-解不等式

2018届高三第一轮复习讲义——解不等式一、知识梳理（1）一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的一般形式是：20(0)axbxca或20(0)axbxca。解一元二次不等式就是求使不等式成立的x的范围，可借助一元二次函数图像求解。2、一元二次不等式的解法总结：借助二次函数的图像可以方便地得出一元二次不等式的解集。设0a（当0a时，可转化为0a型），记方程20axbxc的根的判别式为“”，当0时方程的两实根为12,xx，且12xx，当0时方程有两相等实根记为0x。则一元二次不等式的解集情况如下表：类型20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc012(,)(,)xx12(,][,)xx12(,)xx12[,]xx000(,)(,)xxR0{}x0RR注意：解一元二次不等式的一般步骤：1°判断的正负；2°若有根，求出根；3°写出不等式解集。（2）分式不等式的解法同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式）①0000fxfxfxgxfxgxgxgx（或）与·或·同解；②00fxfxgxgx≥或≤与不等式组0000fxgxfxgxgxgx·≥·≤或同解.（3）一元高次不等式的解法——标根法其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现fx的符号变化规律，写出不等式的解集.若naaaa321，则不等式0)())((21naxaxax或0)())((21naxaxax的解法如下图（即“数轴标根法”）：【提醒】标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.（4）绝对值不等式的解法方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；方法二：应用数形结合思想；方法三：应用化归思想等价转化.①最简单的绝对值不等式的同解变形,xaaxa；,axbccaxbc；xaxa或,xa；cbaxcbax或,axbc.②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形()()()()()fxgxgxfxgx；()()()()fxgxfxgx或()()fxgx；22()()()()fxgxfxgx.（5）含参不等式的解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”【注意】1、解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”；2、按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集；3、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性；②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论；③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为12,xx（或更多）但含参数，要分12xx、12xx、12xx讨论.二、基础检测11.不等式25x的解集是_____________________.2.不等式(2)(32)0xx的解集是_____________________.3.不等式2310xx的解集是_____________________.4.若一元二次不等式220xkx对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是________________.5.关于x的一元二次不等式20xbxc的解集为(,2)(4,),则b_______,c________.6.已知不等式组(23)(32)00xxxa无实数解,则实数a的取值范围是____________.基础检测21.“|1|1x”是“||2x”成立的答[]A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件2.不等式2302xx的解集是_____________________.3.不等式|2||3|5xx的解集是_____________________.4.不等式|2|3xx的解集是___________________.5.不等式241221()33xxx的解集是________________________.6.设1a,若2log(2)log(21)aaxx成立,则实数x的取值范围是________.三、例题精讲例1：解下列不等式：（1）2230xx；（2）2420xx；（3）260xx；（4）23720xx。解：（1）求不等式2230xx的解集，可以看作为求二次函数223yxx取正值时变量x的取值范围。由2230xx，可得到二次函数223yxx与x轴交点的横坐标为1x和3x，又二次函数223yxx的图像开口向上，容易看出，当3x或1x时，此函数的图像在x轴的上方。也容易看出，当13x时，图像在x轴的下方。从而可以得得到：不等式2230xx的解集为(,1)(3,)，不等式2230xx的解集为(1,3)。（2）方程2420xx的两根为1222,22xx，又二次函数242yxx的开口向下，所以不等式2420xx的解集为(22,22)。（3）解集为：(2,3)；（4）解集为1,2,3。例2：解下列不等式：（1）2450xx；（2）23460xx；（3）24410xx；（4）29610xx。解：（1）方程2450xx没有实数根，二次函数245yxx的图像开口向上，所以不等式2450xx的解集为R。（2）方程23460xx没有实数根，二次函数2346yxx的图像开口向上，所以不等式23460xx的解集为。（3）方程24410xx的实根为12x，二次函数2441yxx的图像开口向上，所以不等式24410xx的解集为1{}2。（4）11,,33。例3：（1）不等式22432(1)10kkxkx对一切实数x恒成立，求k的范围。（2）不等式223xxkkxx对一切实数x恒成立，求k的范围。解：（1）1k；（2）1k。例4：设关于x的不等式：20axbxc的解集为(,)，其中0。求不等式20cxbxa的解集。解：11(,)(,)。拓展思考：设关于x的不等式：20axbxc的解集为(,)，分别就下列情况求不等式20cxbxa的解集。（1）0；（2）0。答案：（1）11(,)(,)；（2）11(,)。例5：关于x的不等式组22202(25)50xxxkxk的所有整数解组成的集合为{2}，求实数k的取值范围。解：不等式220xx的解集为(,1)(2,)A，由题意：2x满足不等式22(25)50xkxk，则2k。又方程22(25)50xkxk的两根分别为125,2xkx，而522k，所以不等式22(25)50xkxk的解集5(,)2Bk，由AB只含有一个整数2，所以23k，即32k。总结：本例也可以借助二次函数的图像进行求解。在解AB只含有一个整数2时，要利用数轴来说明，可以把抽象的东西变成形象的。数轴在解不等式中的应用要注意加强，可以直观地表示出不等式的解集。例6：解关于x的不等式：230xaxa。解：212(12)aaaa（1）当0，即0a或12a时，方程230xaxa的两根为22121212,66aaaaaaxx。所以不等式的解集为：221212(,)(,)66aaaaaa（2）当0，即0a或12a。当0a时，不等式解集为(,0)(0,)；当12a时，不等式解集为(,2)(2,)；（3）当0，即120a时，不等式的解集为R。例7：解关于x的不等式：2(2)20()mxmxmR。解：（1）当0m时，不等式化为：220x，此时不等式解集为(,1)；（2）当0m时，方程2(2)20mxmx，可化为(2)(1)0mxx，方程两根分别为122,1xxm。①0m，二次函数2(2)2ymxmx的图像开口向上，12xx，所以不等式的解集为2(,1)(,)m；②当0m时，二次函数2(2)2ymxmx的图像开口向下：（ａ）当2m时，12xx，不等式解集为2(1,)m；（ｂ）当2m时，12xx，不等式解集为；（ｃ）当20m，12xx，不等式解集为2(,1)m。综上知：0m时，不等式的解集为2(,1)(,)m；当0m时，不等式解集为(,1)；20m时，不等式解集为2(,1)m；2m时，不等式解集为；2m时不等式解集为2(1,)m。总结：对于二次项系数含有参数的一元二次不等式问题，在讨论时一定要注意二次函数的开口方向，注意讨论的层次：先注意二次项系数能否为零、再讨论方程的根、联系相应二次函数的图像，不能“乱”。【1】简单高次不等式的解法：例1：解不等式22(6)(87)0xxxx。解：（数轴标根法）22(6)(87)0xxxx，即(3)(2)(1)(7)0xxxx，方程(3)(2)(1)(7)0xxxx的根分别为：12342,1,3,7xxxx。在数轴上将其标出：知不等式的解集为(,2)(1,3)(7,)。【2】分式不等式的解法：例2：解下列不等式：（1）111xx；（2）12142xx。解：（1）原不等式可化为(2)01xxx，利用数轴标根法可得解集为[0,1)[2,)。（2）1212(1)(2)11004242(2)(4)xxxxxxxx，利用数轴标根法得解集为(,2)[1,2](4,)。3、含绝对值不等式的解法：例3：解不等式：（1）|23|5x；（2）2|3|4xx；（3）4137x；（4）2312xx解：（1）(1,4)；2）(,1)(4,)；（3）58,2,133；（4）1(2)(2,)(5,)34、无理不等式的解法例4：解不等式22642xxx.解：原不等式等价于2222640212020102642xxxxxxxxxx或{|21001}.xxx或四、课堂练习1、解下列不等式.(1)23520xx;(2)221xx;(3)24410xx;(4)223xx.2、函数26(3)ykxxk的定义域为R,求实数k的取值范围.3、若关于x的不等式201xaxa有且仅有一解,则实数a____________.4、已知2A{|230}xxx,2B{|0}xxaxb,若AB{|34}xx,ABR,求实数a,b的值.5、已知关于x的不等式2320a