四元数是1843年由英国数学家哈密顿(W

摘要I摘要四元数是1843年由英国数学家哈密顿（W.R.Hamilton）发现或者说发明的，至今已一个半世纪了。但在相当长的一段时间里它没有为人们所重视，更没有得到实际的应用。近年来，四元数矩阵在刚体力学、量子力学、控制理论和陀螺技术中的应用日趋重要和广泛，随着上述四元数力学的不断发展，对四元数矩阵的进一步认识和研究就显得越来越重要。本文对四元数矩阵的实表示的相关研究成果进行了总结和归纳，并进行了一些推广工作：1、总结归纳了四元数矩阵的实表示及其性质；2、利用四元数矩阵的实表示及其性质定义了四元数矩阵的行列式并讨论了行列式的运算性质；3、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的可逆性以及逆矩阵的一种计算方法；4、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的Cramer法则；5、总结归纳了四元数矩阵的实表示及其性质在四元数矩阵方程的有解判别定理以及通解的表示研究中的一些应用。关键词：实表示，四元数矩阵，行列式，四元数矩阵方程AbstractIIABSTRACTQuaternionhadbeendiscoveredorinventedbyW.R.HamiltonwhowasamathematicianofBritainin1843.Butitwasfreefromavalueinalongtime,evenmoreactualofapplication.Thefamilyofquaternionsplaysaroleinquantumphysics,geostatics,controltheoryandpeg-toptechnology.Itisimportanttoknowandresearchquaternionsasthedevelopmentofquaternions.Thustherealrepresentationofquaternionmatriceshasbeenappeared.Thispaperconcludesandsummarizestheproductiontherealrepresentationofquaternionmatrices,andextendssomethinginthisarticle.1、Concludingandsummarizingtherealrepresentationofquaternionmatricesanditscharactersinthisarticle.2、Utilizingtherealrepresentationofquaternionmatricesanditscharactersdefinesthedeterminantofquaternionmatricesanddiscussesoperationcharactersofitsdeterminantinthisarticle.3、Utilizingtherealrepresentationofquaternionmatricesanditscharactersdiscussesthereversibilityofquaternionmatricesandaaccountwayofathwartmatrixinthisarticle.4、UtilizingtherealrepresentationofquaternionmatricesanditscharactersdiscussestheCramertheoremofquaternionmatricesinthisarticle.5、Concludingandsummarizingtheapplicationoftherealrepresentationofquaternionmatricesanditscharactersintheequationofquaternionmatrices.KeyWords:realrepresentation,quaternionmatrices,determinant,equationofquaternionmatrices目录III目录1引言………………………………………………….…………….………….12四元数矩阵的实表示及其性质……………………….…………….……….23四元数矩阵的行列式………………………………………………….……..24四元数体上的Cramer法则………………………………………….…........55实表示在四元数矩阵方程中的应用…………………………………..…….65.1四元数矩阵方程AXBCYDE…………………………...…………….65.2其它四元数矩阵方程……………………………………………...………8致谢……………………………………………………………………..……...11参考文献……………………………………………………………...………..12四元数矩阵的实表示及其应用11引言四元数是1843年由英国数学家哈密顿（W.R.Hamilton）发现或者说发明的，至今已一个半世纪了。但在相当长的一段时间里它没有为人们所重视，更没有得到实际的应用。随着刚体动力学理论的发展，人们发现利用四元数和四元数矩阵可以较好地处理刚体运动学特别是刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题，尤其是发现其中的旋转矩阵运算和单位四元数运算非常相似，从而使四元数方法在理论力学中开始获得应用，四元数也日益引起人们浓厚的兴趣。近年来，四元数矩阵在刚体力学、量子力学、控制理论和陀螺技术中的应用日趋重要和广泛，随着上述四元数力学的不断发展，对四元数矩阵的进一步认识和研究就显得越来越重要。由于四元数乘法的不可交换性，使四元数领域的研究工作受到很大限制。在文献[1-4]中，作者定义了重行列式的概念，并基于重行列式的理论，讨论和研究了四元数矩阵的逆矩阵、特征值和特征向量、Jordan标准形、Cramer法则和Cayley-Hamilton定理等内容，从而奠定了四元数力学的数学基础，但是在实际的四元数力学的研究和数值计算应用中，力学工作者仍感到虽然有了数学理论，也提供了一些数学方法，但是四元数乘法的非交换性使得数学计算过于复杂，很难实现数据的计算机处理，这在一定程度上也制约了现代四元数力学的发展。为了解决上述问题，文献[5-10]介绍四元数和四元数矩阵的复表示，通过复表示方法，研究了四元数矩阵的行列式、逆矩阵、特征值和特征向量、对角化问题、Jordan标准形、Cramer法则、Cayley-Hamilton定理以及四元数矩阵方程的有解判别和解的表示等内容，把四元数体上的非交换的四元数问题归结为复数域上的可交换的复数问题，从而大大简化了四元数力学中的数值计算问题，使得相应的计算机处理也成为可能。在四元数和四元数矩阵的复表示研究的基础上，文献[11-15]介绍了四元数矩阵的实表示，研究了四元数矩阵的实表示的性质，并且利用四元数矩阵的实表示研究了几类四元数矩阵方程的有解判别定理以及通解的表示，把四元数体上的非交换的四元数问题归结为实数域上的可交换的实数问题，从而简化了四元数力学中的数值计算问题。本文在上述文献的基础上，对四元数矩阵的实表示的相关研究成果进行了总结和归纳，并进行了一些推广工作。本文的主要内容包括：1、总结归纳了四元数矩阵的实表示及其性质；2、利用四元数矩阵的实表示及其性质定义了四元数矩阵的行列式并讨论了行列式的运算性质；3、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的可逆性以及逆矩阵的一种计算方法；4、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的Cramer法则；5、总结归纳了四元数矩阵的实表示及其性质在四元数矩阵方程的有解判别定理以江南大学学士学位论文2及通解的表示研究中的一些应用。2四元数矩阵的实表示及其性质首先我们给出四元数和四元数矩阵的实表示的定义：12341234123421434434124321123421434434124321()()mnmnxxxixjxkAAAiAjAkxxxxxxxxxxxxxxxxxAAAAAAAAAAAAAAAAAAA令表示实数域，是四元数体，对于任意，，定义实表示为:，，实矩阵RQQQRRA称为四元数矩阵的实表示矩阵（简称为实表示）。根据四元数矩阵实表示的定义，很容易得到下列结论：,(1)()()()()(2)()()()()(3)()()()mnnsABCaABABABABACACACACaAaAaAaA2.1设，，，则；；。QQR命题442.1()44mnmnmnmnmn由命题可知：。因此，四元数体上的矩阵的运算性质与实数域上的矩阵的运算性质是一致的，从而四元数体上的非交换的四元数问题就可以转化为实数域上的可交换的实数问题。QQR3四元数矩阵的行列式本节首先利用四元数矩阵的实表示及其性质定义了四元数矩阵的行列式，然后在四元数矩阵的行列式的定义的基础上，讨论了四元数矩阵的行列式的一些运算性质，最后讨论了四元数矩阵的可逆性问题，并且给出了四元数矩阵的逆矩阵的计算方法。|||||()|nnQQAAAAA3.1设，矩阵的行列式定义为。Q定义(1),||||||nnQQQABABAB3.1设，则；Q命题四元数矩阵的实表示及其应用3*(2)||||0mmnnQQQAABABB设，，则。QQ123412341234(1),|||()||()()|()()||||(2)*****nnQQQABABABABABABAAAiAjAkijkBBBiBjBk设，则；设，，，Q证明33112244312433112244312433221144321433441122341233442234*****00000****0000****0000*0****0000***000QAAAAAijkBBBBBAAAABBBBAAAABBBBABAAAABBBBAAABB则，于是1121123412342143214334123412432143211234214334124321*0****************0000000000000000()(*)0()()()||||QQABBAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBBBBBBBBABABAB。因此，命题得证。,(),()(,0)[16](1)||||(2)|()||()|||(3)|()()||||||()|1|()||(())|1|()||(())||(ijiijnnijklQQiQQijstQQijQijijQijiQiPDaTbabaAPAPADaAaATaATbAPPTaTaDaDa3.2令，是文献中定义的通常的三类初等矩阵。设，则；；。因为，，QQ命题证明)|a，江南大学学士学位论文43.1(1)||||||||||(2)|()||()||||()|||(3)|()()||()||||()|||ijklQijQQklQQiQiQQQijstQijQQstQQPAPPAPADaADaAaATaATbTaATbA所以由命题可知；；。因此，命题得证。*(())()nnnnAA3.3设，则实伴随矩阵。命题QQ1112131421222324*44313233344142434411223344211243343142132441322314*(())()(())()ijmnnnBBBBBBBBABBBBBBBBBBBBBBBBBABBBBBBBBA