9(6)保守场与势函数

1第六节保守场与势函数保守场与势函数的概念第九章曲线积分与曲面积分保守场的性质保守场的判别法全微分方程与势函数的求法小结思考题作业2回忆:,(),()(),abfxFxfx设在上连续且则有Newton-Leibniz公式()()()()bbaafxdxFxFbFa=即只要知道原函数,求定积分就很方便,思考:求线积分是否也有类似的结论呢?保守场与势函数3二、保守场与势函数的概念实例设在坐标原点放有一个电量为的电荷,q则产生静电场,静电场在每一点的电场强度,即单位正电荷所受到的力,由库伦定理知道,3,,4qrEr为介电常数,.rxiyjzkrr容易验证,存在数量场2221,4qurxyzr使得Egraduu保守场与势函数4说明:向量场E是另一个数量场的梯度.定义1(势函数)设在空间区域中给定一个向量场,F若在该区域上存在一个数量场(,,),uxyz使得.Fgraduu则称向量场为保守场,F函数为向量场的势函数(或位函数).uF注意:保守场的势函数相差一个常数.保守场与势函数5二、保守场的性质有趣的结论:保守场的第二类曲线积分F只与起点和终点有关,而与路径无关.定义G12ddLLFsFsB如果在区域G内对任意的A,B,及连接A,B的任意曲线,有AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关.则称曲线积分dLFs在G内与路径无关,xyO保守场与势函数6定理设D是平面区域(不要求是单连通),在D上给定连续的向量场(,)(,)FPxyiQxyj则F是保守场的充要条件是F的曲线积分与路径无关.证明:必要性设是保守场.F化为定积分即可得到结论.保守场与势函数7定义函数00(,)xy(,)xy(,)xxy00(,)xy经到的任意一段路径的积分.00(,)(,)(,)xyxyUxyPdxQdy00(,),(,),xyDxyD是内固定一点而在内变动,.U由于积分和路径无关所以是单值函数(,),(,).xyDxxyD对不妨设,(,)Uxxy由于积分和路径无关所以可看成由(,)xy(,)xxy充分性.设的曲线积分与路径无关F保守场与势函数8从而有,(,)(,)(,)(,)xxyxyPdxQdyUxxyUxyxx(,)(,)xxyxyPdxx(,)(,),01PxxyxPxxyx0,x两边令(,),:Pxy由的连续性有同理可证:故0(,)(,)(,)limxUUxxyUxyPxyxx(,)UQxyygrad.UF保守场与势函数9结论:从必要性的证明可知,graduFduPdxQdy则BAABABPdxQdyduu推广的Newton-Leibniz公式.保守场与势函数10(1)dd0,CCFdsPxQyCD对任意闭曲线(3)(,),dddDFuxyuFuPxQy在内是保守场,即存在使grad=,等价地.,)4(xQyPD内在与路径无关的四个等价命题定理在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.三、保守场的判别法(2),CDFds在内与路径无关只与起点和终点有关;保守场与势函数11证明:(1)(2):(1).设成立12,LLDAB和是内以为起点为终点的任意两曲线AB1L2L12,LLD那么是包含在内的一条闭曲线,所以120LLFds即12LLFdsFds2LFds(2).即成立保守场与势函数12(3)(4):ddduPxQy设则由于P,Q有一阶连续偏导,故(,),uPxyx(,)uQxyy2PUQyxyx(2)(3):前面已证.保守场与势函数13(4)(1):(4).设成立1,,DD若是内任意简单闭曲线所围成的区域为1,,DDD由于是单连通从而因此1dd()0DQPPxQydxdyxy若Г是一般的闭曲线,可将它分为若干简单闭曲线,所以沿D内任意闭曲线的积分等于0.注意:(4)(1),,.D从的证明中看出必须是单连通的否则结论不成立保守场与势函数14例1判断下面的向量场是否为保守场.()Ffxyij提示:令0(,)()xyuxyftdt保守场与势函数15例2计算2241cos()[2cos()]1LIxydxyxydyy其中(sin):(1cos)xattLyat上从O(0,0)到A(2a,0)的有向曲线弧段.保守场与势函数16例3计算224LydxxdyIxy(,0)cos(,0).2xLAyB其中是从沿曲线到的曲线段保守场与势函数171.定义d(,)(,)d(,)duxyPxyxQxyy一阶微分方程(,)dyfxydx可以写成(,)d(,)d0(1)PxyxQxyy若存在二元函数(,)uxy使则称方程(1)为全微分方程.四、全微分方程及势函数的求法保守场与势函数18因此,若方程(1)是全微分方程,即存在(,)uxyd(,)(,)d(,)d0uxyPxyxQxyy使则(,)uxyC是方程(1)的隐式通解.结论:若(,),(,)PxyQxy在单连通区域G内具有一阶连续偏导,且则方程(1)是全微分方程.xQyP保守场与势函数19在保守场中求势函数,即为求二元函数),,(yxu使得d(,)(,)d(,)duxyPxyxQxyy(也称为全微分求积),则称yyxQxyxPd),(d),(并将的一个称为yyxQxyxPyxuud),(d),(),(全微分式,为一原函数.保守场与势函数20由例,ddd2xxyyxxy.ddd2yyxxyyx可知:,dd2xxyyx2ddyyxxy都是分别是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d,ddyxxy原函数.全微分式.保守场与势函数21类似于定积分中原函数的性质,有:(1)当曲线积分与路径无关时,00(,)(,)(,)xyxyuxyPdxQdy(,)d(,)d,PxyxQxyy是的一个原函数,d(,)uxy即yyxQxyxPd),(d),(,)(,)d(,)d,xyCPxyxQxyy显然u(也是的原函数(2)(,)uxy可以利用原函数来计算曲线积分()()ABPdxQdyuBuA(3)dd.PxQy微分式的任意两个原函数只相差一个常数保守场与势函数22前面已证:当开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则xQyP下面说明一般怎样yyxQxyxPd),(d),(),(yxu在G内恒成立.在G内为某一函数的全微分的充要条件是等式求原函数判断全微分式2.势函数的求法保守场与势函数23.d),(d),(yyxQxyxP当起点M0(x0,y0)固定时,.d),(d),(),(),(),(00yxyxyyxQxyxPyxu于是原函数可写成:上述积分x,y的函数,记为即),(yxu),,(yxu),(yx),(00yx由曲线积分在区域G内与路径无关,M(x,y).设起点为M0(x0,y0),终点为M(x,y)此积分的值取决于终点保守场与势函数24xQyP若00(,)(,)(,)(,)d(,)dBxyAxyuxyPxyxQxyy00(,)dxxPxyx0(,)Cxy(,)Bxy00(,)dyyQxyyD(x0,y)0(,)dyyQxyy0(,)dxxPxyx或00(,)(,)(,)d(,)dBxyAxyPxyxQxyy则Oxy),(00yxA(,)uxy如何求?取特殊的积分路径!保守场与势函数25例4问是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(用曲线积分求其一个原函数.如是,解全平面为单连通域，且成立.xQeyPy所以上式是全微分式.222yxexy因而一个原函数是：yyxexxeyxuyyxyd)2(d)(),(),()0,0(yyxeyyd)2(0xxexd)(00xyO法一(线积分法))0,(x(x,y)保守场与势函数26这个原函数也可用下法“分组”凑出:222dyxxey222),(yxexyxuyyyxexxeyyd)2(d)()dd(yxexeyy)(dyxe)d2d(yyxx222dyx),(yxu法二(凑微分法)保守场与势函数27因为函数u满足Pxexuy故问是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)(用曲线积分求其一个原函数.如是,xxeuyd)(22xxey)(y由此得y的待定函数法三(偏积分法或称不定积分法)uy()yexyyxey2yy2)(从而2()2dyyyyC所以,Cyxxeyxuy222),(保守场与势函数28例5验证22xdxydyxy在xoy平面除y的负半轴及原点外的开区域G内,是某个函数的全微分,并求其一个原函数.保守场与势函数293.积分因子有时,方程(,)d(,)d0(1)PxyxQxyy不是全微分方程,但若可选出函数(,)xy使得,存在势函数(,),uxy且(,)(,)(,)d(,)(,)dduxyxyPxyxxyQxyy则称函数为方程(1)的积分因子.(,)xy保守场与势函数30例设有方程222dd0xxyyxyxdx乘以因子后,221xy左端便化为全微分,即,222dd0xxyyxdxxy两边积分后得到原方程的通解为:32223xxyeC保守场与势函数31.1dd32的通解求方程xyxxxy解整理得211ddxyxxy通解为]d[d112d11Cxexeyxxxx例6一阶线性方程Cxxxyy4343法一法二整理得23()d(1)d0xxyxxy,1xQyP.是全微分方程保守场与势函数32用曲线积分法yxyxxxxyxu0032d)1(d)(),(凑微分法ydyd0)43d(43xxxyyA.B.)dd(xyyxxxd2xxd30)(ddd0原方程的通解为Cxxxyy4343xy33x44x0d)1(d)(32yxxyxx保守场与势函数33不定积分法yxxxu32xyxx4343yuyu又,1)(xyCx,1)(yC,)(yyC原方程的通解为Cxxxyy4343C.0d)1(d)(32yxxyxx),(yCxx1)(yC23(,)()duxyxxyx保守场与势函数34解,2)(2xyxyyyP)()]([xyxyxxQ,),(2xyyxP)(),(xyyxQxQyP积分与路径无关设曲线积分与路径无关,yxyxxyLd)(d2具有连续的导数,其中,0)0(且)1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy计算例7即()2yxxy保守场与势函数35xyO10d0x21(1,0)10dyyxyxy2)(由Cxx2)(0C知2)(xx)1,1(法一设曲线积分与路径无关,yxyxxyLd)(d2具有连续的导数,其中,0)0(且)1,1()0,0(2.d)(dyxyxxy计算)1,1()0,0(2d)(dyxyxxy,0)0(由)1,1()0,0(22ddyyxxxy保守场与势函数36xyO法二)1,1(