9-1直线的斜率与方程2019高三一轮复习课件

基础诊断考点突破基础诊断考点突破第1讲直线的斜率与方程基础诊断考点突破考试要求1.直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式，B级要求；2.确定直线位置的几何要素，直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，C级要求；3.斜截式与一次函数的关系，A级要求．基础诊断考点突破知识梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是．向上0[0，π)基础诊断考点突破(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.tanα基础诊断考点突破2．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线基础诊断考点突破3．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．基础诊断考点突破诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()基础诊断考点突破解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√基础诊断考点突破2．(2017·衡水金卷)直线x－y＋1＝0的倾斜角为________．解析由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.答案45°基础诊断考点突破3．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案三基础诊断考点突破4．(必修2P73练习3改编)已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝______.解析∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴7－54－3＝x－5－1－3，∴x＝－3.答案－3基础诊断考点突破5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________．解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0基础诊断考点突破考点一直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．基础诊断考点突破解析(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2·cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.基础诊断考点突破(2)如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴直线l的斜率k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案(1)π4，π3(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)基础诊断考点突破【迁移探究1】若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴kAP＝1－02－－1＝13，kBP＝3－00－－1＝3.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.基础诊断考点突破【迁移探究2】将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．解如图：直线PA的倾斜角为π4，直线PB的倾斜角为3π4，由图象知直线l的倾斜角的范围为[0，π4]∪[3π4，π)．基础诊断考点突破规律方法直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．基础诊断考点突破【训练1】(2017·常州期末)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1,1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θπ.答案0，π4∪3π4，π基础诊断考点突破考点二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0≤απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.基础诊断考点突破(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.基础诊断考点突破由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.规律方法根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性．基础诊断考点突破【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4,1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.基础诊断考点突破综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.基础诊断考点突破考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．(1)证明直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1.∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．基础诊断考点突破(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)解由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.基础诊断考点突破∵S＝12·OA·OB＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·1＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k0且4k＝1k，即k＝12，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.规律方法在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．基础诊断考点突破【训练3】已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．基础诊断考点突破解法一设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，点P(3,2)代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△ABO＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba＝－23，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.法二依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A3－2k，0，B(0,2－3k)，基础诊断考点突破∴S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋－9k＋4－k≥1212＋2－9k·4－k＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.基础诊断考点突破[思想方法]1．直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°α90°90°90°α180°k0k0不存在k0基础诊断考点突破2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．基础诊断考点突破[易错防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．截距为一个实数，既可以为正数