万有引力与航天专题复习(高三)

万有引力与航天考点自清一.万有引力定律1.宇宙间的一切物体都是相互吸引的,两个物体间的引力大小,跟它们的成正比,跟它们的成反比.2.公式:其中G=6.67×10-11N·m2/kg2,它是在牛顿发现万有引力定律一百年后英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出的.质量的乘积距离的平方,221rmmGF3.适用条件:公式适用于质点间的相互作用,当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点,质量分布均匀的球体也可适用.r为两球心间的距离.二.应用万有引力定律分析天体运动1.基本方法:把天体的运动看成匀速圆周运动,其所需的向心力由万有引力提供,即rvmrMmG22,π4222rTmrm2.天体质量M、密度ρ的估算:若测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.由其中r0为天体的半径,当卫星沿天体表面绕天体运动时,,π3π34,π4330230322rrGTrMVMrGTM得2rMmGrTm22π4则,0rr2π3GT.3.地球同步卫星只能在赤道,与地球自转具有相同的,相对地面静止,其环绕的高度是的.角速度和周期正上方一定4.第一宇宙速度(环绕速度)v1=km/s,是人造地球卫星的发射速度,也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的环绕速度.第二宇宙速度(脱离速度)v2=km/s,是使物体挣脱地球引力束缚的发射速度.第三宇宙速度(逃逸速度)v3=km/s,是使物体挣脱太阳束缚的发射速度.7.9最小最大11.2最小16.7最小2.三种宇宙速度均指的是发射速度,不能理解为环绕速度.3.第一宇宙速度既是最小发射速度,又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度.特别提示：1.应用时可根据具体情况选用适当的公式进行分析或计算.热点聚焦热点一万有引力定律的应用1.解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引=mg即整理得GM=gR2.(2)天体运动都可近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,即F引=F向.一般有以下几种表述形式:①②③,2mgrMmGrvmrMmG22rmrMmG22rTmrMmG222π42.天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T,轨道半径r.①由万有引力等于向心力,即得出中心天体质量天体密度故天体质量由于,,22GgRMmgRMmG.π43π343GRgRMVM,π4222rTmrMmG;π4232GTrM②若已知天体的半径R,则天体的密度③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估测出中心天体的密度.特别提示不考虑天体自转,对任何天体表面都可以认为从而得出GM=gR2(通常称为黄金代换),其中M为该天体的质量,R为该天体的半径,g为相应天体表面的重力加速度.3π34RMVM;π3322RGTr.π32GTmg.2RMmG热点二卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律及卫星的变轨问题1.卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律(1)向心力和向心加速度:向心力是由万有引力充当的,即再根据牛顿第二定律可得,随着轨道半径的增加,卫星的向心力和向心加速度都减小.(2)线速度v:由随着轨道半径的增加,卫星的线速度减小..2rMmGF,22rMGvrvmrMmG得(3)角速度ω:由随着轨道半径的增加,做匀速圆周运动的卫星的角速度减小.(4)周期T:由随着轨道半径的增加,卫星的周期增大.特别提示上述讨论都是卫星做匀速圆周运动的情况,而非变轨时的情况.,322rMGrmrMmG得,π243222GMrTrTmrMmG得π2.卫星的变轨问题卫星绕地球稳定运行时,万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力,由由此可知,轨道半径r越大,卫星的线速度v越小.当卫星由于某种原因速度v突然改变时,受到的万有引力和需要的向心力不再相等,卫星将偏离原轨道运动.当时,卫星做近心运动,其轨道半径r变小,由于万有引力做正功,因而速度越来越大;反之,当时,卫星做离心运动,其轨道半径r变大,由于万有引力做负功,因而速度越来越小.,22rMGvrvmrMmG得2rMmGrvm2rvmrMmG22rvmrMmG22热点三环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星1.环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度通常称为第一宇宙速度,它是地球周围所有卫星的最大环绕速度,是在地面上发射卫星的最小发射速度.不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度其大小随半径的增大而减小.但是,由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功,所以将卫星发射到离地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大.s,m/9.7gRRMGv,rMGv2.地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空.(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期.(3)地球同步卫星相对地面静止.(4)同步卫星的高度是一定的.题型研究题型1万有引力定律在天体运动中的应用已知一名宇航员到达一个星球,在该星球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为G1,在两极用弹簧秤测量该物体的重力为G2,经测量该星球的半径为R,物体的质量为m.求:(1)该星球的质量.(2)该星球的自转角速度的大小.物体在赤道上的重力与两极的重力不相等,为什么?万有引力与重力有什么关系?【例1】思路点拨解析(1)设星球的质量为M,物体在两极的重力等于万有引力,即解得(2)设星球的自转角速度为ω,在星球的赤道上万有引力和重力的合力提供向心力由以上两式解得答案,22GrMmG.22GmRGMRmGRMmG212mRGG12mRGGGmRG1222)2()1(变式练习1已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法:同步卫星绕地心做圆周运动,由(1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果.(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.2232222π4)π2(GThMhTmhMmG得解析(1)上面结果是错误的,地球的半径R在计算过程中不能忽略.正确的解法和结果:得(2)解法一在地面物体所受的万有引力近似等于重力,由解得解法二对月球绕地球做圆周运动,得答案见解析)()π2()(222hRTmhRMmG2232)(π4GThRM,2mgRGMmGgRM2,)π2(212rTmrMmG2132π4GTrM题型2卫星的v、ω、T、a向与轨道半径r的关系及应用如图1所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是()A.a、b的线速度大小之比是∶1B.a、b的周期之比是1∶2C.a、b的角速度大小之比是3∶4D.a、b的向心加速度大小之比是9∶4【例2】226图1(1)谁提供a、b两颗卫星的向心力?(2)向心力公式有哪些选择?思路点拨解析两卫星均做匀速圆周运动,F万=F向,向心力选不同的表达形式分别分析.由得A错误;由得B错误;由得C正确;由得D正确.答案CDrvmrGMm22,23231221RRrrvv22)2(TmrrGMm,3232323121rrTT22mrrGMm21,4633132rrmarGMm2,49212221rraa方法提炼应用万有引力定律分析天体(包括卫星)运动的基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动,所需向心力由万有引力提供.m(2πf)2r有时需要结合应用时可根据实际情况选用适当的公式,进行分析和计算.rTmrmrvmrMmG2222)π2(mgRGMm2变式练习2如图2所示,a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星,下列说法正确的是()A.b、c的线速度大小相等,且大于a的线速度B.b、c的向心加速度大小相等,且大于a的向心加速度C.c加速可追上同一轨道上的b,b减速可等候同一轨道上的cD.a卫星由于某种原因,轨道半径缓慢减小,其线速度将变大解析因为b、c在同一轨道上运行,故其线速度大小、加速度大小均相等.又b、c轨道半径大于a轨道半径,图2由知vb=vcva,故A选项错.由加速度可知ab=acaa,故B选项错.当c加速时,c受的万有引力故它将偏离原轨道,做离心运动;当b减速时,b受到的万有引力它将偏离原轨道,而离圆心越来越近.所以无论如何c也追不上b,b也等不到c,故C选项错.对这一选项,不能用来分析b、c轨道半径的变化情况.对a卫星,当它的轨道半径缓慢减小时,在转动一段较短时间内,可近似认为它的轨道半径未变,视作稳定运行,由知,r减小时v逐渐增大,故D选项正确.答案DRGM2RGMa,2ccrmvF,2bbrmvFrGMvrGMv题型3卫星变轨问题我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图,如图3所示,卫星由地面发射后,经发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,经过几次制动后进入工作轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量之比为a,卫星的停泊轨道与工作轨道半径之比为b,卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则()【例3】图3A.卫星在停泊轨道和工作轨道运动的速度之比为B.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为C.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度D.卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道,卫星必须加速由万有引力提供向心力可以判断不同轨道的速度、周期之间的关系.卫星轨道变大时,周期变大,速度(动能)减小,但机械能增大,即需要加速.baab思路点拨解析由A正确;B错;第一宇宙速度是卫星轨道半径等于地球半径时的环绕速度,由于r泊R,由知,在停泊轨道的卫星速度小于地球的第一宇宙速度,C错;卫星在停泊轨道上运行时,万有引力提供向心力即只有卫星所需的向心力大于地球对它的万有引力,即时,卫星做离心运动,才能进入地月转移轨道.因此,卫星必须加速,D正确.答案AD,baMrrMvvrGMv月工泊地工泊得,π2333abMrrrTTGMrT地月工工泊工泊得,2由rGMv,22rvmrmGM泊泊地,22rvmrmGM泊地规律总结卫星的速度增大,应做离心运动,要克服万有引力做负功,其动能要减小,速度也减小,所以稳定后速度减小与卫星原来速度增大并不矛盾,这正是能量守恒定律的具体体现.变式练习3如图4所示,假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动,到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动.求:(1)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率.(2)飞船在A点处点火时,动能如何变化?(3)飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间.图4解析(1)设月球的质量为M,飞船的质量为m,则解得(2)动能减小.(3)设飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T,则故答案0222,4)4(mgRMmGRvmRMmGRgv021,)π2(20RTmmg.π20gRT00π2)3()2(21)1(gRRg减小题型4万有引力定律与抛体运动的结合在太阳系中有一颗行星的半径为R,若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体,则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G未知).则根据这些条件,可以求出的物理量是()A.B.C.D.【例4】思路分析由竖直上抛运动确定该星球表面的重力加速度g.解析由竖直上抛运动得Hvg220,π83π3420322GRHvRMGgRMmgRMmGA错.根据已知条件不能分析行星的自转情况,B错..C,2202022正确得据HRvHRvgRv