曲线的凹凸性与拐点

1问题:如何研究曲线的弯曲方向?第五节曲线的凹凸性和拐点xyo2曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.xyo1P2P)(:xfyC设)(xf是定义在区间I上的函数，21,PP是曲线C：)(xfy)(Ix上的任意两点,线段21PP称为曲线C的弦，C上介于21,PP之间的曲线段21PP称为C的弧.3定义如果曲线)(:xfyC)(Ix上任意两点21,PP的弦21PP总在弧21,PP之上，则称曲线C是下凸的；xyo1P2P)(:xfyC如果曲线)(:xfyC)(Ix上任意两点21,PP的弦21PP总在弧21,PP之下，则称曲线C是上凸的。xyo1P2P)(:xfyC下凸—凹上凸—凸4xyo)(xfyxyo)(xfy1x2x221xx221xx)2(21xxf)2(21xxf2)()(21xfxf2)()(21xfxf1x2x实际上，只要考虑],[21xx的中点就可以了。2)()()2(2121xfxfxxf下凸：2)()()2(2121xfxfxxf上凸：5观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点下凸上凸当曲线是下凸的时，f(x)单调增加。当曲线是上凸的时，f(x)单调减少。曲线凸性的判定曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。6设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内二阶可导.xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理(1)如果,0)(xf,),(bax则曲线)(xfy在],[ba上是下凸的；(2)如果,0)(xf,),(bax则曲线)(xfy在],[ba上是上凸的。证略。7例1.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y；为上凸的在曲线]0,(时，当0x,0y；在为下凸的曲线),0[.)0,0(是曲线的拐点点xyO3xy8.14334及拐点的凹凸区间求曲线xxy例2解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00下凸上凸下凸拐点拐点)1,0()2711,32(9例3解拐点的求法：1.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；若同号则不是拐点..3的拐点求曲线xy,0时当x,3132xy,9235xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在,0,),0(y内在.)0,0(3的拐点是曲线点xy注意：拐点要写出纵坐标。10例4.32的拐点求曲线xy解当0x和当0x时,均有0y,，3132xy，3494xy.,,0均不存在是不可导点yyx故)0,0(不是拐点.11P148习题四20.(1)、(3)22.(1)练习：12习题课一131.求极限0140tan(1)limsin(2)limln1cos(sin)cos(3)limxxxxxxxxxxxxxxx142.求极限tan211000(1)lim(2)(2)limlnln(1)1(3)limcot(4)limxxxxxxxxxxxx153.函数的导函数为单调函数,问此函数是否也是单调函数?试举例说明之.164.求下列函数的单调区间232(1)(1)(2)sin(3)2lnyxxyxxyxx175.求下列曲线:的上、下凸区间和拐点。222(1)1(2)1xyxxyx186.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，且试证：lim()xafxA()faA197.证明方程只有一个实根。arctan04xx208.证明：当x＞1时，有11ln12xxx219.设函数f(x)在闭区间[0,A]上连续，且f(0)=0.如果存在，且为增函数[x(0,A)].试证：函数也是增函数.()fx1()()Fxfxx2210.已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,f(x)是x的非线性函数.试证:在(0,1)内至少存在一点,使得()1f2311.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,g(x)≠0,f(a)=f(b)=0,证明存在(a,b),使()()()()fgfg24P148习题四11.(6)、(7)12.(2)、(10)15.(4)22.(2)练习：