3.3电荷间相互作用能 静电场的能量

2020/1/271点电荷之间的相互作用能定义静电能为零的状态设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小单元，最初认为它们分散在彼此相距很远的位置上，规定这种状态下系统的静电能为零。——We=0静电能We：把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功A’=-A（电场力做功）2020/1/272两个点电荷的情形先移动q1到M点，———外力不做功再移动q2到N点，———外力做功121212'UqldEqldFAANNq1单独存在时N的点电势交换移动次序可得212121''UqldEqldFAANNq2单独存在时M点的电势'''412102112AArqqUqUq系统的静电能)(21411221210UqUqrqqWeq1单独存在时q2处的电势q2单独存在时在q1处的电势2020/1/273多个点电荷的情形把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相应位置，计算外力所做的功11,12123133312221')(')(',',0'ijjiiinnnnnnUqAUUUqAUUqAUqAAiPijijijjirqldEPUU041)(代表第j个电荷在第i个电荷所在位置Pi处产生的电势点电荷组的总功应为)1(41''''''11101111321niijjijiijjiniiniinrqqUqAAAAAAP2664.106式2020/1/274第二种表达式可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关ijjijiiijjrqqUqUq041)(21jiiijjjiiijjUqUqUqUq)2(8121'1,10,11ninijjjijinijjjiniirqqUqAnijjjijiirqPUU,1041)(Ui:除点电荷i外其它点电荷单独存在时qi所在处的电势总和)3(21'1niiiUqA4.1084.1072020/1/275点电荷组的静电势能点电荷组的静电势能We等于电场力所做的功A’相应的表达式为p266(4.109)、(4.110)、(4.111))1(411111110ijjiniiijjijiniieUqrqqqW)2(81,110nijjjijinierqqW)3(211niiieUqWUi:除点电荷i外其它点电荷单独存在时qi所在处的电势总和2020/1/276电荷连续分布情形的静电能将上式推广到电荷连续分布的情形，假定电荷是体分布，体密度为e，把连续分布的带电体分割成许多电荷元，其电量qi=eVi，则有)3(211niiieUqW)4(21UdVWee带电体各部分电荷在积分处的总电势总静电能不是相互作用能iiieeUVW210iVSUdWUdlWeeee2121：；：面电荷线电荷2020/1/277EDDEe2121电场的能量和能量密度从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面积进行，在其他地方，积分等于零是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？以平行板电容器为例说明UdSWUdVWeeee2121：；：面电荷体电荷DEVDESdSEdUQWe2121212100极板上的电量板间电压体积为V内的W电能密度：单位体积内的电能ED0dVEDdVWee21普遍适用能量定域于场中2021Ee2020/1/278一、点电荷之间的相互作用能以三点电荷为例，相距无穷远，则无相互作用q1不动01Aq2在q1作用下由无穷远移至r12处，做功q3在q1和q2作用下由无穷远移至r23处，做功12212012122124UqrqqdlEqAr)(44231332302130132313332313UUqrqrqqdlEqdlEqdlEqArrr§3－7电荷间相互作用能静电场的能量q1在q2处的电位2020/1/2793133221123021301323031201213031202123021301312012231331223212121212144444421444)(iiiUqUqUqUqrqrqqrqrqqrqrqqrqrqqrqqUUqUqAAAWUi为除qi外，其他电荷在qi处所产生的电势推广：niiiUqW121外力做总功：做功的过程对称性2020/1/2710二、连续带电体的静电能1.连续带电体)(Ud21QqW称为静电能，U为所有电荷在dq处的电势RQRQqWQ02)(044d21例如半径为R带电量为Q的电体球，可看成无穷远dq聚在一起QUUqUUqUqUqUBABABA)()(21d21d21d21d21W＝三、电容器的静电能2020/1/2711t=0开始，每次自下极板把微量电荷dq移至上板，电容器间电场逐渐加大，除第一次外，每次移动，外力都要克服静电力做功，t时刻带电q，再移dq，外力做功qCqqUAddd最后带电Q，则CQqCqAQQ2ddA200电容器储能2221W22CUQUCQ三、电容器的能量-+UQ-QE2020/1/2712dSCr0四、电场的能量(有介质时静电场的能量密度))平行板电容器：储能：一般情形：VEDVwWed21d221CUW2)(21EddS)(212dSE电场能量密度：SdWewDEEe21212w2020/1/2713（包括各向异性的线性极化介质）DEe21w在空间任意体积V内的电场能：VDEVWVeVd21dw对各向同性介质：VEWVd212可以证明，对所有线性极化介质都成立。在真空中：VEWVd2120（同第2章结果）2020/1/2714例题9求半径为R带电量为Q的均匀带电球的静电能解一：计算定域在电场中的能量)(430RrRQrE，)(4130RrrQrE，RQdrrrQdrrRQrdVEWRR02222002203002020344244221球内r处电场2020/1/2715解二：计算带电体系的静电能334rq再聚集drrr这层电荷dq，需做功：)4(420drrrqdqUdW外外334RQ而RQdWWR5341200外外所以球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷2020/1/2716例9-12如图所示,球形电容器的内外半径分别R1和R2,所带电荷为+-Q,在两球壳间充以电容率为的电介质,问此电容器存储的电场能量为多少?rerQEˆ42故球壳内的电场能量密度为解:若球形电容器上的电荷是均匀分布的,则球壳间电场也是对称分布的,由高斯定理可得球壳间的电场强度为:42223221rQEeR2R1rdr取半径为r,厚为dr的球壳,其体积元为dV=4r2dr.所以,在此体积元内电场的能量为:drrQdVdWee2282020/1/2717电场的能量为:2121221222421)11(8821RRRRQRRQrdrQdVWRRee如果R2趋于正无穷,此带电系统即为一半径为R1带电为Q的孤立球形导体,它激发的电场所储存的能量为2128RQWe球形电容器的电容为C=4[R1R2/(R1+R2),所以由电容器储存的电能We=Q2/2C,也能得到同样的答案.电容器的能量是储存于电容器的电场之中的2020/1/2718例9-13如图所示的圆柱型电容器,中间是空气,空气的击穿场强是Eb=3×106V.m-1.电容器外半径R2=10-2m.在空气不被击穿的情况下,内半径R1取多大值可使电容器储存的能量最多?R1R2rBAl2020/1/2719)1()(2210RrRrE从上式可以看出E1/r成正比.故在内表面附近,即r=R1处的电场最强.因此,我们设想此处的电场强度为击穿场强Eb时圆柱型电容器即可带电荷最多,又不会使空气介质击穿,于是有解:由高斯定理可知,两圆柱面间的电场强度为)2(210maxREb由上式可得max=20R1Eb,显然,max是由R1和Eb,决定的.由电容器的能量公式We=QU/2可知,单位长度圆柱型电容器所储存的能量为We=U/2(3)2020/1/272021RRrdEUU为两极间的电势差,由电势差的定义式有)5()RR(lnREWe12212b0把上式代入(3)式,得把(1)式代入上式,得)4(ln22120021RRrdrURR式(5)表明,在Eb已知时,We仅随R1而异.显然,想要圆柱型电容器储存的能量最多,且空气介质又不被击穿,内半径为R1的值需满足dWe/dR1=0的条件.有式(5)得)6(01ln20)1ln2(2112121201eRRRRRRREdRdWeb即有2020/1/2721V1010.9e210103Ue2REe/RRlneRE)RR(lnREU326max2b222b121bmax将已知数据代入上述计算结果表明,对以空气为介质的电容器,当外半径为0.01m时其内半径需为6.07×10－3m,才能使所贮存的能量最多。此时，两极间的最大电压为9.10×103V。此时,圆柱型电容器所储存能量最大,且空气又不被击穿.由已知数据内半径为R1=10-2/e-2m=6.07×10-3m.我们还可以计算出空气不被击穿时,圆柱型电容器两极间最大电势差,将式(6)(2)代入(4),得2020/1/2722例9-14球形电容器R1，R2间充满两层电介质r1,r2，以R为界，带电量q。求1)电场的分布规律；2)we；3)整个能量；4)C。解：1)R2R1R1r2rEPe0由可得)0,0,0111RrPE（220321024;4rqErqErr0004442PDERr，，时，21RrRRrR2020/1/2723)(4)1(22223RrRqrPrr，)(4)1(12112RrRqrPrr，2211043201111111142211RRRRqrdErdErdErdEUrrRRRRRR10Rr2020/1/2724221043221111114221RRRrqrdErdErdEUrrRRRRr22043311422RrqrdErdEUrRRrRrR12RrR2020/1/2725044rrdEU)Rr(0E21w121，2))(321410222RrRrqwr，)(322420223RrRrqwr，)(024Rrw，2Rr2020/1/2726)RR(R)RR(RRRR4W2QC)4211r122r3212r1r0e23)