并且可以通过傅立叶变换求得自功率谱密度函数

第三章信号分析与处理（三~八）第三节信号的幅域分析在信号的幅值上进行各种处理，即对信号的时域进行统计分析称为幅域分析。常用的信号幅域参数包括均值、最大值、最小值、均方根值等。一、幅域参数的定义与算式均值：01()TXxtdtT均方根值：201()TrmsXxtdtT均方根值反映信号能量大小，方差表示数据的分离程度。在工程实际应用中，用加速度单位、速度单位、位移单位来表示。实际上各种幅域参数本质上是取决于随机信号的概率密度函数。maxarmsV离散形式：PX方差：2201()TxxtXdtT11NiiXxN211NrmsiiXxN2211()1NxiixXN_222rmsxXX二、随机信号的幅值概率密度随机信号的概率密度函数表示幅值落在某一个指定范围内的概率大小。0()()limrobxPxxtxxpxx01()limlimxxTpxxT()()rPxpxtx()()xPxpxdx2121()xxpxdxpxpx()1pxdxp三、有量纲幅域诊断函数均值：()Xxpxdx均方根值：2()rmsXxpxdx方根幅值：2()rXxpxdx绝对平均幅值：()Xxpxdx歪度：3()xpxdx峭度：4()xpxdx其中歪度反映对于纵坐标的不对称性，如果不对称越严重，则歪度越大；峭度对大幅值非常敏感，当增加时，峭度值将迅速增大，这对探测信号中含有脉冲性的故障比较有效。离散形式：方根幅值：(书上有错)211NriiXxN绝对平均幅值：_11NiiXxN歪度：311NiixN峭度：411NiixN()px()px实际应用时，由于信号的均值反映其静态部分，对故障诊断意义不大，然而却对计算上述参数有很大影响，因此在计算时应从原始数据中扣除其均值，即做零均值处理。以突出无故障诊断有用的动态信号部分。歪度反映纵坐标的不对称性，如果不对称越严重，则歪度越大。峭度对大幅值非常敏感，当其概率增加时，峭度将迅速增大，这对探测信号中含有脉冲性的故障比较有效，一般来说，随着故障的发生和发展，均方根值、方根幅值、绝对平均幅值以及峭度均会逐渐增大。四、无量纲幅域诊断参数上述有量纲幅域诊断参数值虽然会随着故障的发展而上升，但也会因工作条件的改变而变化，实际中很难加以区分。通常希望幅域诊断参数对故障足够敏感，而对信号的幅值和频率的变化不敏感，即与机器的工作条件关系不大。为此，引入无量纲幅域参数，它们只取决于概率密度函数的形状。()px常用无量纲幅域诊断参数有：波形指标：_rmsfXSX峰值指标：maxfrmsXCX脉冲指标：max_fXIX裕度指标：maxfrXCLX峭度指标：4VrmsKX峭度指标、裕度指标和脉冲指标对于冲击脉冲类故障比较敏感，特别是故障早期时，它们有明显的增加；但上升到一定程度后，随着故障的逐渐发展，反而会下降，表明它们对早期故障方较高的敏感性，但稳定性不好。一般情况下，均方根值的稳定性较好，但对早期故障信号不敏感。因此，为了取得较好的效果，常将它们同时应用，以兼顾敏感性和稳定性。第四节信号的时域分析一、时域波形分析时域分析的主要特点是针对信号的时间顺序，即数据产生的先后顺序。时域中提取信号特征的主要方法有相关分析和时序分析。二、相关系数相关是指客观事物变化量之间的相依关系。相关性是从概率分布的角度反映两随机变量之间的依赖关系。22xyxyxyxyxyExycExEyxRExtxt01limTxTRxtxtdtT三、自相关分析1．自相关函数对某个随机过程取得的随机数据，可以用自相关函数来描述一个时刻与另一个时刻数据间的依赖关系。这就相当于研究t时刻和时刻的两个随机变量和之间的相关性。t()xt()xt11NnxrRntxrxrnNn是有纲量的，不同波形的自相关程度很难相互比较；而是无量纲参数，作为相关性的度量则具有可比。一般情况下，由于数据的随机性，波形不可能完全重合或相反，因此则自相关函数有以下性质：（1）自相关函数是的偶函数；（2）若定义自相关系数()()(0)xxxRR()1xR()xR()x()1x2．自相关函数的数值分析标准方法是直接计算采样数间的平均乘积，然后以此作为自相关函数的估计。^11()NrrxnnrnRRrtxxNr0,1,2,...()rmn式中：r——时间位移数；△t——采样间隔；m——最大时间位移数。maxmmt11mfmt3．自相关函数的数学应用（1）根据自相关图的形状来判断原始信号的性质。比如周期信号的自相关函数仍为同周期函数。（2）自相关函数可用于检测随机噪声中的确定性信号。因为周期信号或任何确定性数据在所有时间上都有自相关函数，随机信号则不然。（3）自相关函数可以建立x(t)任何时刻值对未来时刻值的影响，并且可以通过傅立叶变换求得自功率谱密度函数。4．自相关函数的工程应用不同信号具有不同的自相关函数，这是利用自相关函数进行故障诊断的依据。新设备或运行正常的设备，其振动信号的自相关函数往往与宽带随机噪声的自相关函数相近；而当有故障，特别是出现周期性冲击故障时，自相关函数就会出现较大峰值。四、互相关分析1．互相关函数互相关函数是表示两组数据之间依赖关系的相关统计量。22ifxxGfRed0f01limTxyRxtytdtT11NnxyrRntxrynrNnxyR互相关系数：()()(0)(0)xyxyxyRRR1xy2．互相关函数的数值分析与自相关函数的数值分析相似。3．互相关函数的工程应用利用互相关分析同样可以从噪声背景下提取有用的特征信号。周期信号在任何给定的输入信噪比样本长度下，互相关函数提供的输出信噪比要比自相关函数提供的输出信噪比高。对信号的时频表示分为线性和非线性时频表示两种，信号的线性时频表示主要有小波变换、短时傅立叶变换和gabor展开三种。频域分析是机械故障诊断中使用最广泛的信号处理方法之一。频谱分析的目的是把复杂的时间历经波形经傅里叶变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波的幅值和相位信息。频域分析得到的最终结果是频谱图，频谱图分为离散谱（线谱图）与连续谱。周期性及准周期信号经频谱分析后得到的是离散谱，而非周期信号及随机信号进行频谱分析所得到的是连续谱。对于连续谱，用的是“谱密度”的概念。信号的频域分析包括幅值谱分析、相位谱分析和功率谱分析。第五节信号的频域分析一、周期信号的幅值谱与相位谱1．离散幅值谱与离散相位谱周期信号的傅里叶级数展开：01()cos()2nnnaxtAnt1,2,3nnAn形成离散幅值谱，形成离散相位谱。常值分量：/20/22TTaxtdtT余弦分量幅值：/2/22cosTnTaxtnwtdtT正弦分量幅值：/2/22sinTnTbxtnwtdtT各频率分量幅值：22nnnAab各频率分量相位：arctannnnba2．傅里叶级数的复数形式二、非周期信号的幅值谱密度与相位谱密度周期信号的频谱不能用幅值表示，而必须用密度函数来描述。阶比：，为参考频率值。三、旋转机械的振动特征与阶比谱分析旋转机械的振动往往与转速有关，工作状态可以由与转速成正比的振动信号各阶频率分量之间的相互关系识别出来，从而来研究它们的变化特征和发展趋势，以便确定旋转机械的故障状态和故障情况。阶比谱是一种研究旋转机械振动特征的，在FFT分析技术基础上发展起来的信号分析技术。其特点是充分利用转速信号，因为旋转机械的振动信号中多数离散频率分量与主旋转频率（基频）有关。若用转速信号作跟踪滤波和等角度采样触发，则可建立振动与转速的关系，排除了由转速波动所引起的谱线模糊和信号畸变，因而广泛应用于旋转机械的动态分析、工况监测与故障诊断。/irffrf阶比谱还可以抑制与转速无关的频率成分和随机噪声，使与转速有关的故障特征频率更加清晰可辨。需要说明的是，为了在转速变化时实现阶比谱分析，不能采用等时间间隔采样，而应按等转角间隔采样，为此需要有专门的装量和传感器，根据转速信号提供采样时钟脉冲，转速变化，采样频率随之而变，以实现等转角采样。四、谱图的常用表示方法1．坐标的刻度线性或对数刻度。谱图的纵坐标和横坐标都可以以线性或对数来刻度。对数刻度一般以分贝来表示。定义：20lgdrAAArA式中，A为幅值，为基准幅值。相位角的变化范围为：00180~180变化范围不大，因此相位谱一般都是用线性刻度。频率刻度一都是线性的，但对于倍频程谱分析却采用对数刻度。2．坐标形式直角坐标和极坐标。第六节时间序列分析一、基本概念时间序列是指按照事件发个的前后顺序排列所得的一系列数。在机械故障诊断的频域分析中，FFT是应用最广泛和有效的方法，但也存在一些固有缺陷，如频率分辨率受到采样度的限制和加窗处理产生的能量泄漏。虽然可以通过选择合适的窗函数减少泄漏，然而又导致谱分辨率和幅值精度降低。在短数据记录情况下，这些问题更为突出。时间序列分析方法完全不同于传统的FFT谱分析方法，它不但能够用于处理传统谱分析中一些难以解决的短序列问题，而且还为信号处理技术在新领域的应用开辟了广阔的前景，扩大了信号处理的应用范围。时间序列分析方法是根据所研究的系统的运行数据建立某种数学模型，用这个模型来分析数据的变化规律，进而研究产生这些数据的系统的状态和特性。通常时间序列分析方法（简称时序法）研究的数据是随机性的。因此，时序法是数理统计的一个重要分支，并和系统辨识有着密切联系。二、时序模型结构与建模自回归滑动平均模型，简记为ARMA。其权因子即为自回归参数及滑动平均参数。这是一种参数模型，通过建模将数据中所包含的信息“凝聚”在有限个参数中。这是时序方法的显著特点和优点。自回归滑动平均模型(ARMA)：11nmtititjtjijxxaa2~0,taaNID自回归模型(AR)1122tttntntxxxxa2~0,taaNID常用的定阶准则：1．FPE准则2FPEaNpNp2．AIC准则2AICln2nNp三、时序法中的自功率谱密度函数自功率谱密度函数是时序模型的重要特性之一。与信号的FFT分析得到的自功率谱密度函数不同的是，它不是由观察数据直接算出，而是通过模型参数估计得到的。时间序列分析在故障诊断中的实际应用：一旦系统状态发生了变化，监测数据将随之变化，模型的阶数和参数也将随着变化。这是时序法进行故障诊断的依据。11nmttitijtjijaxxxa傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域中的定位性是准确的，可以反映整个信号的整体频域特征，但是在时域却无任何定位性，不能提供任何局部时间段上的频率信息。对于频域特性随时间而变化的非平稳信号，用傅里叶变换进行分析，虽然可以知道信号所含有的频率信息，但是无法知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。因此，若要提取局部时间段（或瞬间）的频域特征信息，傅里叶变换就不再适用了。为了研究信号在局部时间段内的频域特征，1946年Garbor提出了窗口傅里叶变换（也称Garbor变换）。第七节短时傅里叶变换由于低频信号的特点是在较大的时间范围内幅值变化缓慢，其频率范围窄，它对时-频窗的要求是时窗宽而频窗窄；高频信号的特点是在较小的时间范围内幅值变化迅速，其频率范围宽，它对时-频窗的要求是时窗窄而频窗宽。对于一个时变的非平稳信号，在不同时间段，有时以低频