19.8(1)直角三角形的性质

19.8(1)直角三角形的性质课前练习：•（1）若∠A=40°，则∠B=.•（2）若∠B=35°，则∠A=.•（3）若设∠A=ɑ，则∠B=.（用含ɑ的代数式表示）。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ACB说一说，你是怎样想的？50°55°90°-ɑACB定理1：直角三角形的两个锐角互余。观察：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。由此你可得到哪些结论。CABD(1)△ABC,△ACD,△BCD都是直角三角形。(3)∠ACD=∠B,∠BCD=∠A(2)∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD=90°∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°请证明？证明：∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）∵CD是斜边AB上的高（已知）即CD⊥AB∴∠ADC=90°（垂直的定义）∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）同理：∠BCD=∠A探究：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。若增加条件∠B=45°时，CD与AB在数量上有没有关系呢？ABCD(1)△ABC,△ACD,△BCD都是三角形。（2）CD也是斜边上的一条.且是否所有的直角三角形斜边上的中线都等于斜边的一半呢？等腰直角中线21CD=AB量一量猜一猜直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？证一证命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。求证：CD=AB21证明:延长CD到C′，使C′D=CD，连结C′AACBDC′∴△CDB≌△C′DA（S.A.S）在△CDB与△C′DA中AD=BD（已知）∠C′DA=∠CDB（对顶角相等）C′D=CD（作图）∴C′A=CB，∠B=∠C′AD（全等三角形对应边对应角相等）∵ACB=90°（已知）∴CAB+B=90°（直角三角形的两锐角互余）∴CAB+∠C′AD=90°（等量代换）即∠C′AＣ=90°∴ACB=∠C′AＣ（等量代换）ACBDC′在△ACB与△ＣAC′中C′A=CB（已证）ACB=∠C′AＣ（已证）AC=AC（公共边）∴△ACB≌△ＣAC′（S.A.S）∴ＣC′=AB(全等三角形对应边相等)又∵CD=CC′(作图）21∴CD=AB(等量代换)21定理2：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。ACBD定理2的运用：例题1：如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，且DE=DF.求证：AB=ACDCABEF例题2：某政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区之间修建一个购物中心，三个小区恰巧处于一个直角三角形的三个顶点上请你规划一下，问该购物中心应建于何处，才能使它到三个小区的距离相等？ABCD解：应建在斜边AB的中点D处。∵△ABC是直角三角形(已知)∴CD=AD=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。）巩固新知，深化提高1、在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=25°，那么∠ECB=_________．ACBE2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．AE，BE∠ACE65°4BAECM3、已知：如图∠ABC=∠AEC=90°，M是AC中点。（1）BM与EM有怎样的数量关系，为什么？（2）若将△AEC沿着AC所在的直线翻折，这样的数量关系还成立吗？EBAMC解：BM=EM解：成立（3）延长AB与CE交于Q点，联结BE,若P是BE的中点，MP与BE之间有什么关系？写出你的证明过程。QPEBAMCEABCD已知：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AD∥BC,∠CBE=∠ABE,求证：ED=2AB.21拓展练习自主小结作业：练习册19.8（1）