9.3 二重积分的计算2

利用极坐标计算二重积分有些二重积分的积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，并且被积函数用极坐标变量，表达比较简r单，这时候可以考虑利用极坐标cossinxryr(,)Dfxyd来计算22xyDedxdy22:1Dxy用直角坐标来计算，无法求出例如：为什么引用极坐标计算二重积分1？？为什么引用极坐标计算二重积分2？？21DD:之间的环域和412222yxyx4321DDDDI.怎么计算？Dyxy,xfId)d(需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!0yxD4D3D1D2极坐标系下的面积元素DσyxfId),(将变换到极坐标系0D用坐标线:=常数；r=常数分割区域Diriri+1iiiθrrΔΔ..iriσΔiiiiiθrrrrΔΔ2)Δ(),(iiηξiiiiiiθrηθrξsin,cos01lim(,)niiiif01lim(cos,sin)niiiiiiiifrrrrDθrrθrθrfdd)sin,cos(..iθ..是平均值)ir(利用极坐标计算二重积分iii+iI=iiiiiθrθrrΔ21Δ)Δ(2122rcos,θrx,θrysin?d.d:.,DfxydrdrdrrfDsin,cosxrcosyrsindxdyrdrdfxydxdyD(,)frrrdrdD(cos,sin)二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式就是极坐标中的面积元素rdrd怎样利用极坐标计算二重积分1、极点不在区域D的内部0ABFE)(1r)(2rDD:)()(21rrrrrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21DyxyxfIdd),(Dyxy,xfId)d(r0ABFE)(1r)(2rDrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21D:)()(21rrr.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(r怎样利用极坐标计算二重积分1、极点不在区域D的内部0ABFE)(1r)(2rDrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21βαθdD:)()(21rrr.步骤：1化被积函数为极坐标形式；2从D的图形找出r,上、下限；3面积元素dxdy化为rdrd.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(r怎样利用极坐标计算二重积分1、极点不在区域D的内部.)sin,cos()()(21rdrrrfdADo)(1r)(2rDrdrdrrf)sin,cos(极点不在区域D内的其余类型（1）区域特征如图,).()(21r（2）区域特征如图,同1,).()(21r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(2r)(1r0)(rDrrθrθrfθrd)sin,cos()(0rD:)(0rr20DyxyxfIdd),(Dyxy,xfId)d(r怎样利用极坐标计算二重积分2、极点位于区域D的内部)(rD:)(0rr20rrθrθrfθrd)sin,cos()(0D0.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(r怎样利用极坐标计算二重积分2、极点位于区域D的内部)(rD:)(0rr20rrθrθrfθrd)sin,cos()(020d.D0步骤：1化被积函数为极坐标形式；2从D的图形找出r,上、下限；3面积元素dxdy化为rdrd.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(r怎样利用极坐标计算二重积分2、极点位于区域D的内部AoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd特别地：极点在区域D的边界上区域特征如图,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(0yx变为极坐标形式把d)d,(DyxyxfI.所围第一象限区域与0)(:222yayaxD2acos2ar..20cos20d)sin,cos(dπθarrθrθrfθ)(222ayax,cos2ar即解：DyxyxfIdd),(.代入令sincosθryθrx例1、此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0yxD:4321DDDDI变换到极坐标系πrrθrθrfθ2021d)sin,cos(d.之间的环域和yxyx例2.Dyxy,xfId)d(计算DyxyxfIdd),(D:1r202)d,(d20202变为极坐标形式把RyRyxyxfyI2R区域边界：x=0I.0yx即r=2Rsinr=2Rsin20sin20d)sin,cos(dπθRrrθrθrfθ例3.22yRyx2即.DyxxyIddarctan计算所围第一象限部分y,xy,yx,yx:D0yx12y=xD4021darctantandπrrθθ4021ddπrrθθ2643..I.例4.例5、写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解：在极坐标系下sincosryrx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd例6、计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解：在极坐标系下D：ar0，20.dxdyeDyx22arrdred0202).1(2ae例7、求广义积分20xedx.解:}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD220xye122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRrrdred0022);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye当R时,,41I,42I故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.12,III即：222220(1)()(1)44RRxReedxe0yx4r=4cos所围xy,yx,xyx,xyx:D422xyx822xyxr=8cos8D12,rcos即即arctan即,rcos即例8.Dyxy,xfId)d(计算y=2xx=y0yx422xyx822xyxyx即xy22arctan2即r=8cosD48.r=4cos21所围xyyxxyxxyxD2,,8,4:2222,rcos即2arctan4cos8cos4d)sin,cos(dπθθrrθrθrfθ,rcos即例8..Dyxy,xfId)d(计算I=例9、计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解：3261sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203yx03xy422yx1)1(22yx..114:2222平面域所围）（和yxyxD.cos2r即22202ddrr,2r即例10.I=不分块儿行吗？解：不行！23222cos2ddrr2r=–2cosyxo–1D...yxyxIDdd22计算2323d)cos3838(382323)sin31(sin383838.932316.例11.将积分化为极坐标形式r=RRRRRRxRyxyfx21)d(d)d(d21RRRxyxyfxD1D2.R0yxDd)(tandarctanRRrrθfθ)d(tan2arctan02RθθfR...22xRyd)d(tanarctanRRrrθθfarctanR.I=I=例12、计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解:由对称性，可只考虑第一象限部分，Ddxdyyxyx2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx210sin42rdrrrd.414DD1D例13、求曲线)(2)(222222yxayx和222ayx所围成的图形的面积.解:根据对称性有14DD在极坐标系下)(2)(222222yxayx,2cos2ar,222arayx1D由arar2cos2,得交点)6,(aA,所求面积Ddxdy14Ddxdy2cos2064aardrd).33(2a例14解）．所围的面积（取圆外部和圆是由心脏线其中计算ararDdyxD)cos1(.22)cos1(2222aaDrdrrddyx2233]1)cos1[(31da).2922(3a22315[1()],1,1.DxyfxydDyxyxfD例、计算，其中由围成的区域，是上的连续函数xOy1-111D2D3D4D12341234343433222222010,[1()]d0[1()]dd()d22d2dd.5DDDDDDDDDDDDxDxxyfxyxyfxyxxyfxyxxxy解原式因为被积函数关于为奇函数=0例16求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。解：计算第一挂限部分体积.2,0,0:)43(3444213sin20222022211yayxyxDardrraddxdyyxaVaDxyo.)43(316431aVV注意：被积函数和区域的对称性.xyz2212001-dd1rrrr22221d1Dxyxy请计算：122yx练习2211(1).2rtr二重积分的换元法(,)(,)roxoyroMrxoyMxy上式可看成是从极坐标平面到直角坐标平面的一种变换，即对于平面上的一点，通过上式变换